日常生活中,我們幾乎天天都要和紐結打交道:從簡單地系鞋帶,到費力地解開莫名纏繞的耳機線,再到不得不狠心地剪斷不小心碰一起的兩條魚線。在數學裏,紐結被數學家們抽象出來發展成了一個重要的數學概念,對紐結的研究已經成為數學拓撲學的一個重要分支。為了完成對不同紐結的分類,大量的數學工具被發掘出來,比如鐘斯多項式(Jones polynomial)。
和許多重要數學工具一樣,紐結理論也在物理中找到了位置。紐結理論是研究拓撲量子場論和拓撲弦理論的重要數學工具,也是量子拓撲計算和資訊研究領域的一個重要理論基礎。但是,到目前為止,紐結理論在物理中的應用還是局限在基礎理論的框架內,似乎很難直接關聯到實際物理系統和資料的研究中。
最近,中國科學院物理研究所/北京凝聚態物理國家研究中心凝態理論與資料計算重點實驗室T06研究組胡江平研究員指導的博士生楊哲森,和物理所方辰研究員,以及國科大卡弗裏理論科學中心邱靖凱研究員合作提出了可以用紐結理論的鐘斯多項式去分類一類重要的量子資料:紐結半金屬—包括近年發現的受對稱性保護的厄米節線(nodal line)半金屬和不受任何對稱性保護的非厄米奇异線(exceptional line)半金屬。
在這些紐結半金屬中,能帶的簡並會在三維布裡淵區中形成豐富結構,比如環,鏈,或者是非平凡的紐結。如何系統的分類和刻畫這些非平凡的物理結構呢?
對這個問題的回答,研究人員借鑒了過去研究陳絕緣體(Chern insulator)的管道:陳數的改變可以通過分析在相變點附近的狄拉克方程的質量項得到。在相變點附近,狄拉克質量項控制著布裡淵區貝裡曲率(Berry curvature)的變化,陳數的改變可以通過計算布裡淵區內所有狄拉克點附近的質量項的變化之和求得。
研究人員注意到,在紐結半金屬中,也存在著相同的物理影像。在紐結相變點附近,節線或者奇异線的局域演化可以和鐘斯多項式的整體變化一一對應聯系起來。相變點對應的節線存在一些離散的節線相交點,比如數位8可以看作是一個臨界點,它有一個節線相交點。通過分析這些相交點附近節線的局域演化,就可以得到對應的鐘斯多項式的整體變化。這些變化同時也會和系統的低能物理變化聯系起來。囙此這項研究為進一步研究紐結半金屬這類量子資料的物性和開發其未來可能的應用提拱了理論基礎。
圖1.陳絕緣體和紐結半金屬的對應(a)以及整體的拓撲性質和特殊點的局域性質的對應(b)。
圖2.有四個相交點的臨界相和幾個對應的微擾生成的紐結相。
PRL 124,186402(2020).pdf