北大張平文、張磊與合作者發表“液晶的建模與計算”綜述論文

液晶是一種介於液體和晶體之間的軟物質。過去四十年液晶的研究取得了巨大的進展,不僅極大地促進了基礎科學研究,同時在工業上得到了廣泛的應用。液晶已有很多數學和物理模型描述其多相結構、缺陷和動力學行為,例如Onsager分子模型,Landau-deGennes張量模型,Ericksen-Leslie向量模型等。這些模型的數學理論、相互關係以及計算是重要的數學問題。

2021年8月4日,北京大學數學科學學院教授、大資料分析與應用科技國家工程實驗室主任張平文院士,北京國際數學研究中心張磊副教授與浙江大學數學科學學院王偉研究員合作,在Acta Numerica發表題為“Modelling and Computation of Liquid Crystals”的綜述論文。

液晶是一種介於液體和晶體之間的軟物質。過去四十年液晶的研究取得了巨大的進展,不僅極大地促進了基礎科學研究,同時在工業上得到了廣泛的應用。液晶已有很多數學和物理模型描述其多相結構、缺陷和動力學行為,例如Onsager分子模型,Landau-de Gennes張量模型,Ericksen-Leslie向量模型等。這些模型的數學理論、相互關係以及計算是重要的數學問題。

論文首先介紹了液晶三類不同層次的數學模型及其聯系,即分子模型、張量模型和向量模型。這些模型或者是力學家根據力學原理和本構假設建立的,或者是物理學家基於分子結構運用統計物理平均場理論建立的。以液晶不同模型之間的關係為重點,運用模型約簡方法,可以從嚴格數學意義上或形式上建立不同模型之間聯系,並綜述了相關的理論分析結果(圖一)。

圖一:從微觀分子理論到宏觀連續理論的模型約簡

論文接下來介紹了液晶的計算方法,包括計算液晶穩定缺陷的能量極小化方法和梯度流方法,以及液晶流體動力學模型的數值方法,並列舉了各類受限在不同幾何區域和條件下向列相液晶的缺陷構型。由於液晶通常具有多個有序相,那麼如何通過計算找出所有的相以及不同相之間的連接關係?論文先回顧了計算過渡態和轉移路徑的計算方法,例如尋找最小能量路徑的弦方法;然後介紹了近年來提出的解景觀概念,及利用鞍點動力學構建解景觀的計算方法,同時給出了二維受限區域內向列相液晶完整的解景觀(圖二)。

圖二:受限在方形區域中向列相液晶的解景觀

論文最後總結了液晶的研究主要關注分子的拓撲和幾何特徵如何影響介觀結構,從而决定液晶資料的性質。液晶的科學價值不僅在於提出新的數學問題,而且促進了新的研究方法。同時,論文對液晶的未來研究提出了一些展望,包括液晶平衡解的對稱性,動力學模型的適定性和長時間行為,複雜受限液晶系統的解景觀,多相及活性液晶系統的相變等問題。

Acta Numerica是數值分析與科學計算領域的頂級綜述期刊(數學類影響因數最高的期刊)。該期刊1992年創刊,每年邀請領域內著名專家撰寫綜述論文,每年只出版一期,每期發表6-8篇文章。該論文是首篇由中國內地高校獨立完成的文章。該工作得到了國家自然科學基金委和英國皇家學會牛頓高級學者的資助。

論文作者介紹:

張平文,北京大學數學科學學院教授,中國科學院院士,开发中国家科學院院士,美國工業與應用數學會會士。現任北京大學黨委常委、北京大學副校長、大資料分析與應用科技國家工程實驗室主任、北京大學大數據科學研究中心主任、中國工業與應用數學學會理事長。擔任學術期刊《CSIAM Trans.Appl.Math》主編以及十餘種國內外期刊的編委。主要從事複雜流體的數學理論和計算方法、移動網格方法及其應用、人工智慧的數學理論、大資料分析與應用等方面的研究,曾獲國家自然科學二等獎、教育部高等學校自然科學一等獎、國家傑出青年基金資助、馮康科學計算獎等多項榮譽。2011年在第七届國際工業和應用數學大會作大會邀請報告,2014年在美國工業和應用數學年會作大會邀請報告,2015年擔任第八届國際工業和應用數學大會組織委員會成員及學術子委員會主席,2018年國際數學家大會45分鐘邀請報告人。

張磊,北京大學北京國際數學研究中心長聘副教授/研究員,定量生物學中心PI。主要研究領域為計算和應用數學,包括稀有事件與解景觀的算灋與應用,計算系統生物學,計算材料科學等。研究成果在Phys.Rev.Lett.,SIAM系列,Cell子刊等期刊發表。曾獲中組部高層次青年人才計畫、基金委優秀青年科學基金、英國皇家學會牛頓高級學者、基金委原創探索計畫等專案資助。現任SIAM J. Appl.Math,CSIAM Trans.Appl.Math,DCDS-B,The Innovation,計算數學等期刊編委。

王偉,浙江大學數學科學學院長聘副教授/研究員,2013年博士畢業於北京大學數學科學學院,導師為張平文教授。主要研究領域為應用分析與偏微分方程,包括液晶數學理論,流體自由邊值問題等,研究成果在Comm. Pure Appl.Math.,Arch.Ration.Mech.Anal,J. Funct.Anal.等期刊發表,曾入選中國科協“青年人才托舉工程”,獲基金委優秀青年科學基金等專案資助。

原文刊載於【高分子科學前沿】公眾號

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