來源：《返樸》（ID:fanpu2019）
撰文：曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
外爾是德國數學家、物理學家和哲學家，二十世紀最有影響的思想家。作為數學家，外爾是最後的數學全才之一；作為理論物理學家，他對量子力學、相對論都有根本性貢獻，且創立了規範場論。外爾是一頭闖入物理學瓷器店的數學家大象。此外，他用優雅的文筆為我們闡述數學、物理以及作為其基礎的哲學思想，留下了許多膾炙人口的深刻篇章。
The person I admire most is Hermann Weyl.
——Michael Atiyah[1]
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引子
康德（Immanuel Kant，1724-1804）的Kritik der praktischen Vernunft（實用理性之批判）[2]一書中有這樣的一句廣為流傳的話：
“Zwei Dinge erfüllen das Gemüth mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht，jeöfter und anhaltender sich das Nachdenken damit beschäftigt: Der bestirnte Himmelüber mir und das moralische Gesetz in mir.”
有兩種東西，對它們的思考越是經常和持久，它們就越是以嶄新的、不斷增長的驚奇與敬畏充滿心靈：這就是我頭頂的星空和我心中的道德律令。
參照這一段，我願意這樣寫出我的一個感受：
“Drei Dinge erfüllen das Gemüth mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht，jeöfter und anhaltender sich das Nachdenken damit beschäftigt: Der bestirnte Himmelüber mir und das moralische Gesetz in mir und die Weylsche Werke vor mir
有三種東西，對它們的思考越是經常和持久，它們就越是以嶄新的、不斷增長的驚奇和敬畏充滿心靈，這就是我頭頂的星空和我心中的道德律令和我面前的外爾的著作。”
外爾是個震古鑠今的數理大家。餘生性淺薄，初識外爾是通過他的小册子symmetry（對稱）。進入新世紀的前幾年裏，筆者對對稱花樣和對稱性理論產生了强烈的興趣。在閱讀的諸多對稱性文獻中，外爾的symmetry一書引起了我的注意，尤其是插圖67，那是用線條描繪的成都文殊院窗櫺的花樣（圖1）。這讓我對外爾產生了極大的興趣，用流暢的語言講解對稱性還引用了中國古建築的例子，我猜他一定有一個有趣的靈魂。
圖1.Symmetry一書插圖所臨摹的成都文殊院的窗櫺
在日後的研究與教學中，我經常會在不同場合遇到外爾這個名字，也瀏覽（或者叫翻閱，但不能稱為讀過）了他所有的書籍以及部分文章。對於外爾的不斷增長的驚奇與敬畏也就慢慢充滿了我的心靈。撰寫《磅礴為一——通才型學者的風範》一書，如果沒納入關於外爾的章節，那將是不可饒恕的疏忽。然而，本書交第一稿時，我卻並沒有這麼做，因為我確切地知道理解外爾要比理解愛因斯坦、龐加萊等人更加艱難，勉為其難就沒勁兒了。後來轉念一想，反正過些年我也一樣不能深入理解外爾，為什麼要留下一個那麼大的遺憾呢？於是，我匆匆地撰寫了這一章，以期成為未來認真、深入介紹外爾的前奏。
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外爾小傳
外爾（Hermann Weyl，1885-1955），德國數學家、物理學家和哲學家，二十世紀最有影響的思想家（圖2），因為學問太過深邃，故他是一般的學術世界裏缺失的人物。愚以為，可以形象地說，外爾是一頭闖入物理學世界的數學家大象。
圖2.外爾
外爾1885年出生於漢堡附近的一個小鎮，父母都來自富足家庭。1904-1908年間，外爾在哥廷恩和慕尼克兩地學習數學和物理，其在哥廷恩大學的博士導師是數學大神希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）。1908年，外爾以關於積分方程的研究獲得數學博士學位。在哥廷恩教了幾年書以後，外爾於1913年到了蘇黎世的瑞士聯邦理工（ETH）就任幾何學教授。在那裡，外爾和愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）熟識，當然也就第一時間熟悉了他的相對論，似乎可以說是愛因斯坦的影響讓外爾成了一名理論物理學家。外爾為廣義相對論的數學花了大量精力，尤其是在作為其基礎的微分幾何的拓展問題上。1921年，外爾在蘇黎世遇到了在蘇黎世大學任教的薛定諤（Erwin Schrödinger，1887-1961），這可以說是為量子力學數學的拓展埋下了伏筆。外爾於1928-1929年間在普林斯頓大學作訪問教授，1930年回到哥廷恩大學接導師希爾伯特的班。此前，哥廷恩大學曾於1925年召他回去接替克萊因（Felix Klein，1849-1925），但被他拒絕。1933年，外爾移居美國，在普林斯頓高等研究院一直工作到1951年退休。退休後的外爾往來於蘇黎世和普林斯頓兩地，1955年辭世。
外爾在哥廷恩上大學期間曾修習過胡塞爾（Edmund Husserl，1859-1938）的哲學課，由此認識了胡塞爾的一個女弟子海倫娜（Helene Joseph，1893-1948），後來成了他的妻子。他們締結了一段持續35年（1913-1948）的婚姻。不知道外爾對哲學的興趣是否是那時建立起來了，反正外爾深受胡塞爾的現象學哲學（phenomenological philosphy）的影響。外爾生性灑脫，終其一生他都追求自己做主的生活理想（Zeit seines Lebens fühlte er sich demokratischen Idealen verpflichtet）。
外爾是哥廷恩大學培養出來的學者，其一生都和哥廷恩的數學傳統相聯系，當時是由希爾伯特、克萊因和閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）所代表的。愚以為哥廷恩數學傳統的代表人物也要加上與外爾同時代的諾特（Emmy Noether，1882-1935），而此前則有高斯、黎曼和狄裏拆利（Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）。在外爾所處的時代，數學家已不再追求龐加萊或者希爾伯特的那種貫通（universalism），而外爾則是最接近達到融會貫通境界的。後世的數學家阿提亞爵士（Michael Atiyah，1929-2019）在1984年接受採訪時曾感歎道：“I have found that in almost everything I have ever done in mathematics，Hermann Weyl was there first.（我發現幾乎所有我做過的數學，外爾都捷足先登過。）”
外爾一生著述頗豐，其著作目錄如下：
- Die Idee der Riemannschen Fläche（關於黎曼面的思想），1913；英文版為The Concept of a Riemann Surface.
- Raum，Zeit，Materie（空間-時間-物質），1918.
- Das Kontinuum（連續統），1918；英文版為The Continuum.
- Mathematische Analyse des Raumproblems（空間問題的數學分析），1923.
- Was ist Materie？（物質是什麼？），1924.
- Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft（數學和自然科學的哲學），1927；英文版為Philosophy of Mathematics and Natural Science.
- Gruppentheorie und Quantenmechanik（群論與量子力學），1928；英文版為The Theory of Groups and Quantum Mechanics.
- The classical groups:their invariants and representations（經典群），1939.
- Elementary theory of invariants（不變數理論基礎），1936.
- Meromorphic functions and analytic curves（亞純函數與解析曲線），1943.
- Symmetry（對稱），1952.
- Riemanns geometrische Ideen（黎曼的幾何思想），1988.
此外，外爾辭世後，後人於1968年編輯出版了他的4卷本全集（Gesammelte Abhandlungen）。外爾的著作內容不易懂，但讀懂一點就大有收穫，况且其文筆流暢，讀來算是享受。
在外爾的學問與成就中，數學、物理和哲學的成分雖非渾然一體，卻也不是涇渭分明的。下文將外爾的成就分成數學的、物理的和哲學的，只是為了介紹的方便，不具有嚴格的意義。
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外爾的數學成就
外爾共寫過200餘篇論文，是那種出自個人機杼的、有思想的論文。對大部分外爾的文章，硬要分辨其為數學的哪個領域或者是算數學還是算理論物理可能是不得體的。在他眼裡，數學是一個有機整體，他對整個數學領域的進步都有影響，其耕耘的範圍包括分析、拓撲、微分幾何、微分方程、李群、表示理論、調和分析和分析數論等。有了貢獻者水准的數學，特別是在微分幾何、微分方程、李群和表示理論等領域，加上和愛因斯坦、薛定諤等人過從甚密，外爾參與近代理論物理的奠基是自然而然的事情。
外爾的數學生涯開始於分析，包括積分方程和譜理論。1910年外爾以奇性微分方程及其用本征函數的展開，即後來的自伴隨算符的譜理論，獲得私俸講師資格（habilitieren）；1911年發表了Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte（本征值的漸近分佈）一文，證明了在緊致域上拉普拉斯運算元本征值的漸近分佈，即Weyl law，1912年又用變分原理給出了新證明。外爾後來不斷回到這個問題，他還將之應用於彈性體系，得到了外爾猜想。本征值漸近分佈，學量子力學的看到這個概念會眼睛一亮，這是量子力學數學一大關啊，而外爾得到這些研究成果時量子力學這個詞還沒出現呢[3]。
關於拉普拉斯算符本征值的漸近分佈，外爾在1915年指出其第一項正比於系統的體積，除了體積以外的其他參數不起作用，此乃物理學家，其中有大名鼎鼎的洛倫茲（Hendrik Antoon Lorentz，1853-1928），在提供了經典物理到量子物理橋樑的黑體輻射研究中首先猜測的一個結果。坦白地說，筆者雖然撰寫過關於黑體輻射研究的長篇論文，對這一點卻毫不知情。當然，黑體輻射、量子力學和拉普拉斯運算元本征值，這裡的邏輯關係是契合的。
1913年外爾發表了小册子Die Idee der Riemannschen Fläche（關於黎曼面的思想），對黎曼面進行統一處理。此項工作的一個重要意義在於將複數從複平面中解放出來。外爾用點集拓撲讓黎曼面理論更加嚴格，為後來的流形研究樹立了榜樣。黎曼幾何的外爾張量對於理解共形幾何非常重要。
1918年外爾出版Raum-Zeit-Materie（空間-時間-物質）一書，此時他已經開始思考如何築牢廣義相對論的數學基礎並加以擴展。同一年，外爾發表了關於規範場論的第一篇文章，那是從數學上將引力理論同麥克斯韋電磁理論結合起來的嘗試，詳情見下。也許不算巧合的是，同一年在格丁根出現了諾特定理，而這是規範場論的重要基礎。
1923 -1938年間外爾發展了用矩陣表示表述的緊致群理論。關於緊致李群他證明了基本的特徵標表，這是理解量子力學的對稱結構的關鍵。外爾還給出了旋量問題的闡述。外爾關於群論的工作，加上維格納（Eugene Wigner，1902-1995）和馮·諾伊曼（John von Neumann，1903-1957）的工作，奠立了量子力學的數學基礎，見下。關於非緊致群及其表示，特別是海森堡[4]（Werner Heisenberg，1901-1976）群，也捎帶著在1927年在外爾量子化的框架中給處理了。李群和李代數才成了純數學和理論物理的主流，外爾功不可沒。
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外爾的物理成就
外爾的物理貢獻在於相對論、量子力學，以及創立了基於相對論和量子力學的規範場論。環顧天下，有此能力與機遇故而享此榮耀者，僅此一人而已。愛因斯坦是量子力學、相對論和統計物理的奠基人；薛定諤是量子力學奠基人，做出了挽救規範場論的關鍵一步。這三人是終生的好朋友，且關於自然持比較一致的哲學觀點，實在是物理學的幸運。
4a） 群論與量子力學
如果將1925年底薛定諤構思波動方程算作新量子物理的起點，可以說外爾從一開始就參與了量子力學的創立。要確立薛定諤方程
的正當性，那得有一個能表明它還算可靠的例子。薛定諤將他的方程應用於氫原子求解其定態波函數，不過那樣得到的三變數的二階微分方程的解，即便對於當時已是數學物理教授的薛定諤本人來說，也是很難的。這個工作是在外爾的幫助下才完成的，詳情見下。
薛定諤1926年的量子力學奠基性論文的題目就是“作為本征值問題的量子化”，而算符的本征值問題可是外爾得出過定理的研究內容，簡直是撞到他的槍口上了。量子力學數學的關鍵概念是希爾伯特空間，而希爾伯特就是外爾的導師。在量子力學中算符作用於波函數，那麼在波函數不能得到具體形式的局面下如何研究得到物理？這就得用群論來定性分析算符及其本征函數和本征值了，而這又撞到外爾的槍口上了。僅僅到了1928年，量子力學還羽翼未豐呢，外爾的《群論與量子力學》就出版了，算得上是第一時間趕出來的。外爾的《群論與量子力學》和維格納1931年的《群論及其在原子譜量子力學中的應用》是從群論角度理解量子力學的經典，它們讓量子力學有了點學問的樣子，極大地促進了量子理論的發展。李群的表示論就是為量子力學量身定做的，而外爾在群表示論和運算元譜理論的權威研究讓他成了新物理學當仁不讓的代言人。由於群論對於一些物理學家來說太難了，外爾他們當時的努力竟然被誣為群瘟（Gruppenpest）。後來的發展表明，群論是近代物理最有用的工具。這兩本群論，加上1930年狄拉克（P.A.M. Dirac，1902-1984）的《量子力學原理》和1932年馮諾伊曼的《量子力學的數學基礎》，是量子力學在建立過程中就形成的經典著作，是理解量子力學之創造的第一手資料[5]。
外爾於1939年在普林斯頓期間出版了The classical groups（經典群）此一經典著作。該書共分為10章，包括導論、向量不變數、矩陣代數與群環、對稱群與完全線性群、辛群、特徵標、不變數的一般理論、再論矩陣代數，最後一章是補綴。外爾之所以寫這本書，是因為他在1925年就得到了一個半單連續群的特徵，他想用直接代數構造為所有重要的群得到類似的結果，而當其時他已掌握了所有的工具。學過一點群論的人，對外爾的The classical groups一書會特別有感覺。貫穿The classical groups一書的是不變數理論（invariant theory），故可以和他的Elementary theory of invariants（不變數理論基礎）一書參照著讀。不變數這個概念會把克萊因、希爾伯特、諾特和外爾聯系起來，會幫助我們理解什麼叫“數學傳統”。The classical groups也被認為是反映了外爾對數學一體性的堅持，人們評估這本書值得一讀再讀十遍地讀（It’s the kind of book you read ten times—Atiyah）。當然，這本書的序言比正文更有名氣。論及書的風格，相較於那種給讀者以把他們關入了一個照明充分的小屋子，其中每一個細節都凸顯令人炫目的清晰而毫無陰影的那種印象，外爾寫道：
“I prefer the open landscape under a clear sky with its depth of perspective，where the wealth of sharply defined nearby details gradually fades away towards the horizon.”
我喜歡晴朗天空下有著深遠景致的開闊地，那裡眾多細節明晰的近景漸漸融入地平線。
“…The book is primarily meant for the humble who want to learn as new the things set forth therein，rather than for the proud and learned who are already familiar with the subject and merely look for quick and exact information about this or that detail.”
本書主要是給那些謙卑的、想將其中內容當作新事物學習的而非那些驕傲又博學的、早已熟悉相關主題故而只是想找點兒關於這個或者那個細節之便捷精確資訊的人準備的。
4b）廣義相對論與規範場論
相對論與瑞士的蘇黎世和德國的哥廷恩兩個小鎮有關。在蘇黎世給出狹義相對論幾何的閔可夫斯基是哥廷恩數學傳統的領袖人物，第一個寫出引力場方程的希爾伯特是哥廷恩數學傳統的領袖人物。畢業於哥廷恩的外爾於1913年到了蘇黎世的瑞士聯邦理工。外爾與愛因斯坦交好，又秉承哥廷恩的數學物理傳統，自然也會對相對論產生濃厚的興趣。廣義相對論涉及微分幾何、不變理論、群論等數學，都是外爾的拿手戲。如同閔可夫斯基完善了狹義相對論的數學基礎，外爾要完善和發展廣義相對論的數學基礎。愛因斯坦的廣義相對論論文於1916年3月發表，1917年夏外爾即開設了廣義相對論課程，1918年出版了名著Raum-Zeit-Materie（空間-時間-物質）一書，因為，如他所言：
“Es lockte mich，an diesem großen Thema ein Beispiel zu geben für die gegenseitige Durchdringung philosophischen，mathematischen und physikalischen Denkens.”
它誘惑我關於這個主題給一個哲學的、數學的、物理的思想交相滲透的例子。
Raum-Zeit-Materie一書受真學物理的人的歡迎程度令人側目，僅僅到了1922年即已出到了第五版，法語和英語譯本也有了，被譽為不會過時的著作（見1991版序）。
Raum-Zeit-Materie一書的副標題為Vorlesungenüber Allgemeine Relativitätstheorie（廣義相對論教程），分為歐幾裡得空間、可測度的連續統、時空相對性和廣義相對論四章，意在展開一個簡單的基本思想（die Entfaltung einer einfachen Grundidee）。一個數學家，在廣義相對論創立不久便及時地提供了廣義相對論的教程，詳細闡述了流形、聯絡與曲率，還有它們的物理詮釋。問題是，外爾是要發展這門學問，為這門學問夯實進而拓展其數學基礎。這讓我想起了外爾導師希爾伯特的一件軼事。當年希爾伯特受德國數學學會的指派撰寫數論研究的報告，人家希爾伯特當時的境界竟然是要趁機為數論奠立基礎（lay the foundation）。確實，對於廣義相對論這種學問，不是外爾這樣的數學家還真未必能正確估量其價值——愛因斯坦本人也不行。對付廣義相對論這種學問，“…die Physik liefert die Enfahrungsgrundlage，die Mathematik das scharfe Werkzeug（物理提供經驗基礎，數學提供鋒利的工具）”，二者缺一不可。
外爾1918年的德語論文“引力與電”（Gravitation und Elektrizität）在其文後即有愛因斯坦從物理角度的詰難，這讓規範場論差點成了被洗澡水淹死的嬰兒。然而幸運的是，經過薛定諤（1922）、倫敦（1927）、福克（1927）等人的工作，外爾最初的思想實現了同量子理論的結合，加上其1929年英文的“引力與電子”（Gravitation and the electron）和德文的“電子與引力I.”（Elektron und Gravitation I.）這兩篇文章，其意在建立一個囊括引力、電和物質的理論（eine Gravitation，Elektrizität und Materie umfassende Theorie），規範場論這門學問終於得以建立，最後經非阿貝爾規範場論發展到標準模型，其間的過程波瀾壯闊。更多詳情參見本書的薛定諤一章及拙著《雲端脚下-從一元二次方程到規範場論》，有興趣深入學習的讀者請參閱規範場論方面的原文與專著。
1928年，英國物理學家狄拉克給出了（電子的）相對論量子力學方程
，其中m是粒子質量，γ是4×4的狄拉克矩陣，
，
，
，
，可看作是從組織2×2矩陣Ι2和泡利矩陣σx，σy，σz構造而來的[6]。這裡的波函數Ψ是複四分量的。將此方程中的質量m設為零，即得到所謂的外爾方程
，其中σμ=（Ι2，σx，σy，σz），而波函數Ψ是複二分量的。外爾方程是將狄拉克中的m設為零的結果，故被理解為描述質量為零的費米子的方程，相應的費米子被稱為外爾費米子。1933年，泡利指出外爾方程破壞宇稱對稱性，但泡利1930年預言的中微子卻被認為是無質量的，被當作了外爾方程要描述的對象。當然了，當中微子被發現以後，更多的研究結果表明它不僅有質量，而且有三種類型不同的中微子，且有振盪現象，所謂中微子是外爾費米子的說法自然也就破滅了。可以說，到目前為止，外爾費米子還是個沒有任何現實基礎的概念而已。
狄拉克方程來自電子的相對論質能關係E2=（pc）2+（mc2）2，雖然推導過程中狄拉克也是大膽施為，但應該說它還是有堅實的物理基礎的。狄拉克方程導致了反粒子的概念，且很快得到了證實（參見拙著《驚豔一擊》）。與此相反，外爾方程來自將狄拉克方程中的一項之係數m設為零，這樣做當然沒有什麼物理基礎。這種做物理的方法，未免顯得上不了檯面；沒有物理基礎的推導未能結出物理的果子，於情於理倒也說得過去。其實，要求存在無質量的外爾費米子，從概念上說還有許多困難。將一個已知方程中的一項係數設為零，這對數學家來說簡直就是舉手之勞。如果外爾做過這樣的研究，得算是他人生的污點。有人願意頑強地從外爾方程出發往下編故事是法律保障的自由，但以為大自然非要滿足這個方程就讓大自然太為難了。大自然沒有義務滿足某個人寫下的方程，哪怕是外爾的方程也不行。
更加有趣的是，關於外爾方程和外爾費米子的文章、書籍都說是在1929年德文的“電子與引力I.”一文中外爾得到外爾方程的，然而翻遍原文也不見相關內容，其中曲折，值得進一步考證。
作為一個數學家，外爾似乎對物理理論該是什麼樣兒沒有什麼先驗的負擔。比如，關於左右對稱，在1929年那篇經典論文中外爾就寫道：
“Wir werden sehen，daßman mit zwei Komponenten auskommt，wenn die Symmetrie von links and rechts aufgehoben wird（）.……Die Einschränkung 2 hebt die Gleichberechtigung von links und rechts auf.”
我們將看到，如果將左右對稱性取消，則兩個分量就够用了。……限制條件2取消了左和右的平權。
後來的外爾旋量就分為左手的和右手的。三十年後的物理學界為是否放弃左右對稱性而經歷的心靈掙扎，是物理學史上有趣的一頁。
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外爾的哲學成就
哥廷恩的數學傳統是包括哲學的。構建數學的基礎，應該是哲學性的勞動。外爾熟悉古希臘哲學和德國古典哲學，大學時選修過胡塞爾的哲學課，據信他對物理的處理管道多基於胡塞爾的現象學哲學。外爾所著的Was is Materie？，Raum-Zeit-Materie，Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft（數學和自然科學的哲學），以及Das Kontinuum（連續統）[7]都是哲學味十足的名篇。後人編纂的Mind and Nature（思維與自然）收錄的也是外爾的一些哲學思考。
在1918年的Das Kontinuum一書中，外爾使用羅素（Bertrand Russell，1872-1970）的分支類型論（ramified theory of types）的較低層次發展了謂詞分析的邏輯，他實際上是發展了經典運算的大部，但他既不使用選擇公理也不使用反證，還避免使用康托（Georg Cantor，1845-1918）的無限集合。這期間外爾採用的是費希特（Johann Gottlieb Fichte，1762-1814）的構造主義。在連續統中，可構造的點是分立的存在，而我們需要的不是那種作為點之集團的連續統，應該構造同物理意義自恰的連續統。該書出版後，外爾轉向了布勞威爾（L. E. J. Brouwer，1881–1966）的直覺主義。後來，外爾又覺得布勞威爾的直覺主義對數學施加了太强的限制。1921年，外爾寫了“關於數學新的基礎危機”一文，在數學界引起了極大的騷動。約在1928年後，外爾就公開認為數學的直覺主義同他對現象學哲學的熱情不相容。晚年的外爾認為數學是“符號構造（symbolic construction）”。
1949年，外爾放弃了數學的直覺主義的價值。在1949年英文版Philosophy of mathematics and natural science中，外爾寫道：
“Mathematics with Brouwer gains its highest intuitive clarity. He succeeds in developing the beginnings of analysis in a natural manner，all the time preserving the contact with intuition much more closely than had been done before. It cannot be denied，however，that in advancing to higher and more general theories the inapplicability of the simple laws of classical logic eventually results in an almost unbearable awkwardness.And the mathematician watches with pain the greater part of his towering edifice which he believed to be built of concrete blocks dissolve into mist before his eyes.
“數學從布勞威爾那裡獲得了高度的直覺上的清晰。他成功地以一種自然的管道開啟了分析的發展，一直保持住了比從前更加緊密的同直接的接觸。不可否認的是，為了尋求更加高級、更具一般意義的理論，運用經典邏輯的簡單法則最終會導致令人難以容忍的糟糕局面。數學家痛苦地看著他以為是用混凝土磚建立起來的塔樓之大部眼睜睜地消解在迷霧中“。
德語的Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft出版於1927年，那一年外爾已對相對論的幾何做了充分的研究、參與了1926年薛定諤量子力學波動方程解氫原子問題，泡利寫出了他的兩分量量子力學波動方程，而狄拉克的四分量相對論量子力學波動方程還要再等來年。在這本書裏，外爾談了他關於數學邏輯、公理、連續統、無限、幾何[8]、時空、方法論、物質以及因果律等觀念，而這些在筆者看來，是理解量子力學和相對論的關鍵。從筆者個人經歷來看，缺乏對這些基本觀念的思考是大學階段學習量子力學和相對論時感到困惑的緣由。
外爾的科學哲學是對我們科學家有益的學問，如他所言，die Beschäftigung mit der Philiosophie der Wissenschaften die Kenntnis der Wissenschaft selbst voraussetzt（拿科學哲學說事兒要以科學知識本身為前提）。如同萊布尼茲，對於外爾來說，數學是其哲學體系的有機組成部分。因為首先是個職業科學家，哲學家外爾的著作中多有實踐痕迹的表述，或者說，他的哲學論述是技術性的。略舉幾例，供讀者品味。
Wir haben die Wahrheit nicht，sondern sie will durch Handeln gewonnen sein
不是我們擁有真理，而是它可通過實踐被獲得；
Eine wahrhaft realistische Mathematik sollte，parallel zur Physik，als ein Zweig der theoretischen Konstruktion der einen realen Welt aufgefaßt warden
真正現實的數學應該作為關於現實世界的理論構造的一個分支，與物理平行，來理解；
Tatsächlich schreibt die allgemeine Relativitätstheorie nicht die Topologie der Welt vor，und so mag es kommen，daßdie Welt nicht bloßnach dem Unendlichen zu，sondern auch nach innen hinein unerreichbar Säume trägt
實際上，廣義相對論並沒有規定世界的拓撲，故而可能是這樣，世界不只是朝著無限之外也可能朝著內裡攜帶著不可抵達的遲疑。
此書包含大量數學與物理的基礎思想，有一定數學和物理知識儲備的讀者不妨讀讀，此處恕不詳述。
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多餘的話
外爾作為一個職業數學家，但卻對量子力學、相對論和規範場論都有根本性的貢獻，原因不外有二：其一，這確實是理論物理，撞到他這個真數學家的槍口上了；其二，他和量子力學和相對論的物理學家奠基者們有親密的接觸。外爾研究廣義相對論，因為愛因斯坦是他在瑞士聯邦理工的同事，擴展作為廣義相對論基礎的微分幾何的努力最終導向了規範場論的創立，而碰巧那中間的關鍵一步來自量子力學。
外爾和同時期在蘇黎世大學訪問的薛定諤過從甚密，進而在學術上互有啟發與襄助。1922年，薛定諤引入了虛因數
，救了外爾的規範場論。1926年，薛定諤構造了量子力學波動方程
，即薛定諤方程。將薛定諤方程應用於氫原子，得到了E～Enlm的結果，即氫原子中電子（就一個）的能量是三個量子數的函數。加上電子的自旋，原子中的電子一般就有四個量子數，這四個量子數的取值管道决定了元素週期表的樣子。關於這個小問題，今天的中學生都應該知道，參見拙著《量子力學-少年版》。解氫原子的薛定諤方程實際上是非常難的，這一點只要看看其定態波函數的運算式就知道了：
其中
，
是玻爾半徑。一般的教科書中會記
，這使得波函數運算式
中量子數n被部分地隱藏了，這是不懂物理的表現。這個運算式很複雜，其中的函數L和Y分別是推廣的拉蓋爾函數和球諧函數[9]。一般教科書作者照抄這個解，但會假裝自己會解這個方程的樣子來。殊不知作為維也納大學數學物理教授到蘇黎世大學訪問的薛定諤自己也得求助於外爾。這一點，薛定諤在其1926年的經典論文第一部分的註腳中是明確鳴謝了的。一般教科書作者假裝也會解這個方程，估計是從沒有讀過原文的緣故。
外爾1924年出版了具有哲學意味實際上是學不分科的Was ist Materie？（什麼是物質？）一書，這是一個學會思考了的學者對自然存在的思考。不知道是不是受這本書的啟發，反正20年後薛定諤出版了What is life？（什麼是生命？）一書，一樣的是學不分科式的著作，一樣的是一個學會思考了的學者對自然存在的思考。可能薛定諤的書更貼近生活吧，故What is life？比Was ist Materie？更為流行。然而，論學問，尤其是涉及到淵源，筆者可能會給予Was ist Materie？以更高的評估。當然，把這兩本書放到一起看會帶來更大的收穫。
至於規範場論，規範場論始於外爾1918年的“引力與電”一文，其初始動機是擴展廣義相對論用的微分幾何。希爾伯特第一個寫出廣義相對論場方程，比愛因斯坦早5天。外爾是希爾伯特的學生，是愛因斯坦的同事，好象就是通過外爾的介紹，希爾伯特才邀請愛因斯坦於1915年夏去哥廷恩講學的。可以說，外爾參與廣義相對論的進一步發展是自然而然的事兒。規範場論其後發展的硬核思想基礎是1918年的諾特定理。諾特1915年應克萊因和希爾伯特之邀到哥廷恩大學工作。雖然外爾和諾特可能在哥廷恩沒有交集，但無疑地他們都是深受克萊因和希爾伯特影響的哥廷恩學派頂級人物。1918年，諾特的“不變的變分問題”和外爾的“引力與電”同時出現絕非偶然，是數學物理史上值得關注的大事件。
1954年出現的楊-米爾斯理論是對規範場論的提升與拓展。這裡的主角楊振寧先生曾談到：“…當我還是中學生的時候，就從父親那裡接觸到群論的基本原理，也常常被父親書架上的一本斯派澤關於有限群的書中的美麗插圖所迷住。”看看，人家是在中學生時代就接觸到了群論，而且是通過斯派澤（Andreas Speiser，1885-1970）的書籍。群論是相對論、量子力學和規範場論的基礎，先通群論對學習理論物理的益處，楊振寧先生可為一例。有趣的是，外爾在1937年的Symmetry一書的序言中赫然寫道：
“Andreas Speiser's Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung and other publications by the same author are important for the synopsis of the aesthetic and mathematical aspects of the subject……”
斯派澤的有限群理論以及該作者的其他著述對於（對稱性）這一主題的美學與數學方面的概覽特別重要。
楊振寧先生後來發展了規範場論，看來不是偶然的。
囉嗦這麼多，我特別想說，一個人要成為大學者，成長的環境太重要了。欲做學問者，須到學問家窩裏去。如果你不明白這個道理，請好好理解維也納圈子（Viena circle）是什麼意思。外爾的成就是在哥廷恩以外做出來的，可他依然是哥廷恩數學傳統的標誌性人物。在德國詩人海涅（Heinrich Heine，1797-1865）筆下，哥廷恩是一個以香腸和大學而聞名的都市。這個城市睥睨天下的氣質，可以從刻在老市政廳入口處的一句拉丁語口號看出：“Extra Gottingam non est vita，si est vita non est ita（哥廷恩以外沒有生活，有生活那也不是這裡那樣的）。在外爾求學的時代，其導師希爾伯特是數學的旗幟，純粹思想的神龕（shrine of pure thought），至於“全世界想學數學的人們打起背包，到哥廷恩去，那裡有希爾伯特”的噱頭，雖說出處可疑，畢竟有其發生的現實基礎。第二次世界大戰結束前，美英法盟軍沒有轟炸哥廷恩，算是強盜有文化的案例，也是因為哥廷恩太過令人肅然起敬了。
一個人能成為學術巨擘不是偶然的。大抵說來，他應該生來聰穎過人，導師也是學術巨擘級的，能教他深入的學問，引導他到學問的前沿。由此看來，老師們要不遺餘力地教多、教深，才算是合格的，這也是一個教師的起碼良知。至於學生們能走多遠，那要看學生們自己的造化。成巨擘的人，心思只可在學問本身。這樣看來，他還應該是富足的，物質上與精神上都富足，心無旁騖，不會為了生活所迫違心去做根本算不上研究的研究。
關於數學和物理的關係，我總覺得一個人只有實現了物理學家and數學家的運算才可能實現理解數學or物理的結果。實際上，從牛頓、拉格朗日、歐拉、貝努裏們、哈密頓、格拉斯曼、龐加萊、希爾伯特、外爾、諾特到眼前的阿諾德、阿提亞、彭羅斯等人，一個大數學家沒有對物理學的基礎性貢獻簡直是不可想像的。反過來，好的物理學家，如狄拉克、薛定諤、錢德拉塞卡、李政道先生、楊振寧先生等，其數學水准也不是一般意義的數學愛好者能比的。外爾的一句“In some way Euclid’s geometry must be deeply connected with the existence of the spin representation（歐幾裡得幾何肯定以某種管道同自旋表示的存在深度關聯）”讓我渾身一顫，當然這主要是因為我數學差的原因。
外爾是數學家、物理學家和哲學家，也是文采斐然、風格獨特的作家，其文筆優美、頑皮，有人甚至誇獎他的文風是詩意的。多麼深沉、嚴肅的內容，外爾都能寫出優美的文字來，並且灌注入思想，囙此讓人覺得讀來是個享受。外爾1939年在普林斯頓出版The classical groups時在序言中為自己的英語不流利而道歉：
The gods have imposed upon my writing the yoke of a foreign tongue that was not sung at my cradle.
“Was dies heissen will，weiss jeder，
Der im Traum pferdlos geritten.”
諸神給我的寫作强加上了枷鎖，那是我在搖籃中未曾聽過歌聲的語言。“那是什麼樣的感覺呢，夢到自己胯下無馬還縱橫馳騁的人都知道。”
這讓英語是native language的人都無地自容。同一年，談論抽象代數同拓撲學的競爭，外爾寫道：
“In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each inpidual mathematical domain.“
這些日子裏，拓撲學的天使和抽象代數的魔鬼在為每一塊數學地盤的靈魂而打鬥！
嗯，天使，魔鬼，還為了靈魂在打鬥，這數學就顯得比較熱鬧。
不知道數學、物理和哲學的思想在外爾的靈魂裏是怎樣打鬥的，激烈而且和諧？
參考文獻
1. Emmy Noether，Invariante Variationsprobleme（不變的變分問題），Nachr.D. König.Gesellsch.D. Wiss.Göttingen 918，235–57（1918）.
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4. Hermann Weyl，Gruppentheorie und Quantenmechanik（群論與量子力學），S. Hirzel（1928）.英文版為The Theory of Groups and Quantum Mechanics，Dover（1931）.
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6. Hermann Weyl，Elektron und Gravitation I.（電子與引力I.），Z. Phys.56，330-352（1929）.
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8. Hermann Weyl，Mind and Nature，Princeton University Press（2009）.
9. Hermann Weyl，Philosophy of mathematics and natural science，Princeton University Press（1949）.
10. Eugene Wigner，Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren（群論及其在原子譜量子力學中的應用），Vieweg（1931）.英文版為Group Theory: And its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra，Academic Press（1959）.
11. John von Neumann，Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik，Springer（1932）.
12. Michael Atiyah，Hermann Weyl 1885-1955，The national academy press（2002）.
注釋
[1]我最佩服的就是赫爾曼.外爾——邁克爾.阿提亞
[2]中文譯本名為《實用理性批判》，但這容易讓筆者這樣的糊塗人理解為實用的‘理性批判’。此處故意點明這是關於‘實用理性’之批判。
[3] Quantenmechanik，量子力學，一詞最早出現於1924年
[4]海森堡因對矩陣力學的貢獻而作為量子力學奠基人之一而聞名。實際上，他提出同位旋和交換相互作用的概念才更見水准。
[5]忽然明白某些地方的量子力學的教與學差在哪兒了。
[6]狄拉克說是自己硬推導出來的。
[7]連續統的譯法涉嫌同義反復。‘統’字本身就是連續關係的意義
[8]雖然初二就學過，但筆者打死也不敢說自己會歐幾裡得幾何。牛頓能用平面幾何證明平方反比力下行星運動的軌跡是圓錐曲線，外爾從歐幾裡得幾何能看到自旋表示。信誓旦旦敢說會的，都是因為知道的少。
[9]球諧函數，聽著莫名其妙吧？Spherical harmonic function，其實是球安裝函數，即用這樣的函數可以凑出一個球對稱的分佈來。Harmony，本義是安裝到位。
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