幂級數，隨處可見，在複分析、組合理論、代數幾何等領域扮演著重要角色。在複分析中，多變元幂級數收斂域的幾何結構開啟了多複變研究的序幕。在組合理論中，序列的生成函數就是幂級數，其算術與代數性質可以揭示序列的內在結構。在代數幾何中，幂級數被用於理解代數簇在奇點處的幾何結構。幂級數的算術理論始於Fatou，Eisenstein，Polya，Szego等人的工作，其中最著名的定理是Szego定理與Polya-Carlson定理。但是，這些經典的結果局限于單變元情形。從2016年開始，陳紹示與加拿大滑鐵盧大學Jason Bell教授開展了關於多變元幂級數的算術理論研究，並主要關注多變元微分有限幂級數的有理性問題。
微分有限幂級數是一類滿足線性微分方程的特殊函數，在經典分析，計數組合學，交換代數，代數數論中有廣泛的應用。這方面一個重要而經典的問題是微分有限幂級數滿足什麼條件是有理函數在原點處的泰勒展開，即有理性問題。2017年，陳紹示與Jason Bell證明了係數取自有限集合的多變元微分有限幂級數必然是有理函數的泰勒展開。該結果是多變元Szego型定理，將1996年van der Poorten與Shparlinski的有理性定理從單變元推廣到了多變元。進一步，他們利用代數方法得到了多變元整係數微分有限幂級數的有理性定理，該結果是多變元Polya-Carlson型定理。在其博士論文中，虞天龍利用多複變中解析延拓理論給出了該有理性定理的一個複分析證明。加拿大組合學家M. Mishra教授在其最近的專著《Analytic Combinatorics: A Multidimensional Approach》中專門介紹了這些工作。
2020年，陳紹示與合作者研究了係數取自有限生成群的幂級數的有理性問題。代數動力系統理論主要研究代數簇上的有理映射的反覆運算性質及其軌道分類。該理論的覈心問題是Dynamical Mordell-Lang猜想，這是經典算術幾何中Mordell-Lang猜想的動力系統版本。陳紹示與合作者首先研究了由代數動力系統所定義的一類取值在有限生成群上的序列的結構，以此證明了微分有限幂級數的係數零化的名額集一定為有限條等差數列與一個Banach密度為零的集合的並集。進一步，利用結構定理從代數動力系統角度證明了Bezivin定理：係數取自有限生成群的微分有限幂級數必然是有理函數在原點處的泰勒展開。這個新的證明為進一步研究多變元微分有限幂級數的有理性問題提供了思路。
相關論文：
1. Jason P. Bell，Shaoshi Chen，and Ehsaan Hossain.Rational Dynamical Systems，S-units，and D-finite Power Series.Algebra and Number Theory，15（7）：1699
2. Jason P. Bell，Shaoshi Chen.Power Series with Coefficients from a Finite Set.Journal of Combinatorial Theory，Series A.，151: pp. 241–253，2017.–1782，2021.