導語
有趣的“哥尼斯堡七橋問題”是否有解呢？大數學家、“圖論之父”歐拉從數學上論證了：無解。
陳關榮|作者
鄧一雪|編輯
有時候一句諺語或一個故事，便可以讓許多人知道並記住一座城池。“條條大路通羅馬”、“拿破崙遭遇滑鐵盧”、“劉備借荊州”等，都是耳熟能詳的例子。
哥尼斯堡之所以出名，或可歸功於它那有趣的“哥尼斯堡七橋問題”。
1.哥尼斯堡七橋問題
哥尼斯堡（Königsberg）是座小巧玲瓏的古都，位於歐洲波羅的海東南沿岸的桑比亞半島南部，面積約1.5萬平方公里，今天人口不到50萬。該城堡由條頓騎士團（Teutonic Order）北方十字軍於1255年建立，先後成為條頓騎士團國、普魯士公國（Kingdom of Prussia）和東普魯士國（East Prussia）的首府。
圖1哥尼斯堡教堂（1895年，復原圖）
故事從流經市區的Pregel河講起。這條小河在市區內有一個小島，河面上有七座小橋（圖2）。在18世紀，當地居民聊天時會經常討論，是否可以從某一個地點出發，走過所有七條小橋，不重複也不遺漏，最後回到起點？
問題挺簡單的不是嗎，在紙上或地上畫畫不就畫出來了？
沒想到不少人畫了很多個方案都不成功：絞盡腦汁，就是無法找到答案！
圖2哥尼斯堡城中河面上七條小橋（紅色標記）
這時候，瑞士裔俄羅斯數學家歐拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－1783年9月18日）出場了。雖然沒有記錄表明歐拉親自去過哥尼斯堡，但是當年七橋問題在民間流傳很廣，身在俄羅斯聖彼德堡的他知道了這個坊間遊戲。年輕的歐拉對有趣的事物充滿好奇心，居然認真地去思考這個小小問題。
1735年8月26日，歐拉向聖彼德堡科學院作了個學術報告，從數學上論證了：哥尼斯堡七橋問題是沒有解的。
這裡，我們用今天大家熟識的語言來描述一下歐拉當年的推證。
首先，歐拉把都市的地圖（圖2）抽象為一幅數學的圖（圖3）。
（a）當年歐拉的手繪圖
（b）今天相應的數學示意圖
圖3七橋問題的數學圖表示
然後，假定你在圖上沿著某條連邊往前走。當你走到任意一個節點（圖3裏的A、B、C、D）時，如果它不是終點，那麼你得走過它然後繼續往前走。於是，這個節點有了兩條連邊：一條進、一條出。你就這樣繼續往前走。你有可能再也不回到這個節點，但也可能還會走回到這個節點來。因為它不是終點，如果走回來的話你還得離開它。這樣它就有四條連邊了。如此類推，它必須有偶數條連邊。這裡，重複走過某些節點是允許的，只是不允許重複走過任何一條連邊。
最後，假定你走到了終點。原問題不是要求你走回到起點麼？所以終點與起點重合，這個特殊的節點也同樣有兩條連邊。
至此，問題是否有解的答案就很清楚了：如果有解的話，圖中的所有節點都必須有偶數條連邊。但是，圖3所示的七橋數學圖顯然不滿足這個條件，囙此沒有解：即不管你從哪裡出發，你都不可能把七條橋全部走一遍，不重複也不遺漏，最後回到出發點。
歐拉後來以拉丁文正式發表了論文“關於位置幾何問題的解法”（Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis，Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae，vol. 8，pp. 128-140，1741），文中詳細討論了七橋問題並作了一些推廣。該論文被認為是數學圖論、拓撲學和網絡科學的發端。
圖4歐拉論文“關於位置幾何問題的解法”（1741年）
後來，歐拉和一些數學家分別考慮了一般多條橋的各種圖，大家把其中有解的那些圖稱為歐拉圖。具體地說，一幅規模有限的圖，不管它有多少個節點和多少條連邊，也不管你從哪個節點起步，如果總存在一條路徑讓你走遍所有的連邊，不重複也不遺漏，最後還能回到起點，那麼這幅圖就是歐拉圖。
從歐拉解决七橋問題開始，數學家們逐步建立起了數學圖論，並把歐拉稱為“圖論之父”。
1771年，法國數學家範德蒙（Alexandre-Theophile Vandermonde，1735－1796）研究了國際象棋的“騎士”能否走遍棋盤每一個方格的遊戲問題（Knight's Tour Problem）。過了好多年之後，基於對上面兩個圖論遊戲的興趣，愛爾蘭數學家哈密頓（Sir William R. Hamilton，1805－1865）考慮了一類和歐拉圖“對偶”的圖，就是不管一幅規模有限的圖有多少個節點和多少條連邊，也不管你從哪個節點起步，如果總存在一條路徑讓你走遍所有的節點，不重複也不遺漏，最後還能回到起點，這類圖就稱為哈密頓圖。哈密頓圖對你走過多少條邊，有沒有遺漏一些邊，都是沒有限制的。囙此，走遍一幅哈密頓圖裡所有節點的路徑可能不是唯一的，因為也許會存在不同的路徑都可以把所有的節點連在一起並且首尾相接。
圖5 [左]歐拉（1707－1783）；[右]哈密頓（1805－1865）
2.哥尼斯堡名人錄
自從歐拉解决了民間喜聞樂道的七橋問題之後，哥尼斯堡便走進了福斯的視野。
其實，哥尼斯堡雖然歷史不長，地域不大，但地靈人傑，名人很多。在哥尼斯堡出生長大的眾多人物之中，我們只簡單地說說“一、二、三”，即一比特哲學家（康德）、二比特物理學家（基爾霍夫和索末菲）和三比特數學家（哥德巴赫、希爾伯特和閔可夫斯基）。實際上，要比較完整地介紹他們之中任何一比特的生平和貢獻，都得寫一本小書。此外，還有一些著名人物就不列舉了，如化學家瓦拉赫（Otto Wallach，1847－1931）是1910年諾貝爾化學獎得主、數學家莫澤（Jurgen K. Moser，1928－1999）是數學動力系統KAM理論中的M、數學家黑塞（Ludwig O. Hesse，1811－1874）以他命名的矩陣（Hessian Matrix）為大家所熟識，還不計及文學、歷史、政治、宗教、音樂、藝術等領域的名家。
康德
哥尼斯堡最著名的市民當數哲學家康德（Immanuel Kant，1724年4月22日－1804年2月12日）。
康德是17－18世紀歐洲文藝復興之後的反封建思想解放啟蒙運動後期一比特主要哲學家。他調和了笛卡兒的理性主義與培根的經驗主義，發展了自成一派的思想體系，被認為是繼蘇格拉底、柏拉圖和亞裡斯多德後西方最具影響力的思想家之一。
康德有不少論著，其中覈心的三大著作被合稱為“三大批判”，即《純粹理性批判》、《實踐理性批判》和《判斷力批判》。這三部著作分別系統地闡述了他的知識學、倫理學和美學思想。《純粹理性批判》一書被認為是西方哲學史上劃時代的巨著。此外，他在宗教哲學、法律哲學和歷史哲學等方面都有重要貢獻。一般認為，康德的道德哲學與中國儒家思想類似，強調個人道德自律從而構建理想社會。康德的道德原則就是“為道德而道德，為義務而義務”，包括“不要騙人”、“不要自殺”、“發展自己的才能”和“幫助別人”等方面，以致哲學家尼采（Friedrich W. Nietzsche，1844-1900）稱康德為“哥尼斯堡的中國人”。
康德固然是一名哲學家，但也寫過好幾篇自然科學論文。1746年康德的父親逝世，之後他開始了長達九年的家庭教師生涯。期間，他發表了兩篇科學論文：1754年的“地球在繞軸自轉時是否發生變化”和1755年的“從物理學上推論地球是否已經衰老”。1755年，康德寫了一篇學術論文“論火”，以此獲得碩士學位。在同一年，他又寫了“形而上學認識第一原理的新說明”一文，從而獲得皇家哥尼斯堡大學（Royal Albertus University of Königsberg）任教的機會，在那裡擔任了15年的編外講師。
康德性格內向，畢生都沒有離開過家鄉哥尼斯堡。他長期身體虛弱，過著極簡生活，終身未娶。康德逝世後，墓碑上刻著他那本名著《實踐理性批判》裏的一句話∶“群星蒼穹在我之上，道德法則存我心中”（Der bestirnte Himmelüber mir und das moralische Gesetz in mir），作為他一生的總結。
圖6康德在哥尼斯堡的墓碑
基爾霍夫
基爾霍夫（Gustav R. Kirchhoff，1824年3月12日－1887年10月17日）在1847年從哥尼斯堡大學物理系畢業。在大學期間，基爾霍夫一直參加數學物理學家諾依曼（Franz E. Neumann，1789－1895）和雅可比（Carl G. J. Jacobi，1804－1851）領導的研究討論班，深受數學薰陶。這位雅可比以他的矩陣和行列式為理工科師生所熟識。他出生於當年屬於普魯士的波茨坦，1826年到哥尼斯堡大學任教，在那裡工作了16年，之後因健康問題退隱柏林。
1845年，還是大學生的21歲基爾霍夫發表第一篇論文，就建立了電路網絡中電流、電壓、電阻關係的兩條基本定律，即以他命名的“電流定律”和“電壓定律”，成為分析、計算和設計各種複雜電路不可或缺的基礎理論和工具。他後來又研究了電路中電的流動和分佈，闡明了電路中兩點間的電勢和靜電學的電勢這兩個物理量在量綱和組織上是一致的，從而使基本電路定律具有更一般的涵義和應用。基爾霍夫囙此在電子和電器工程領域極負盛名，被稱為“電路求解大師”。
1850年，基爾霍夫在柏林大學執教時發表了論文“彈性圓板的平衡與運動”，從三維彈性力學的變分開始，引進了著名的“基爾霍夫薄板假設”並給出了邊界條件，還匯出了圓板的自由振動解和一般振動運算式。
1854年，基爾霍夫由著名化學家本生（Robert W. Bunsen，1811－1899）推薦，到了海德堡大學任職教授。
1859年，基爾霍夫與本生合作，製成第一臺光譜儀並創立了光譜化學分析法，由此發現了元素銫和銣。隨後，其他科學家利用光譜化學分析法，還發現了鉈和碘等幾種新元素。基爾霍夫進而利用光譜化學分析法去研究了太陽及一些行星的化學元素譜。
1860年，基爾霍夫做了燈焰燒灼食鹽的實驗，得出了“熱輻射基爾霍夫定律”：任何物體電磁輻射的發射量和吸收量的比值與物體本身特性無關，是波長和溫度的普適函數，與吸收係數成正比。他由此判斷：太陽光譜的暗線是白光被大氣中某些元素吸收的結果。這給太陽和恒星成分的分析提供了一種有效的方法，讓天體物理進入了光譜分析的新階段。接著，他又提出了絕對黑體的新概念。
1862年，基爾霍夫因在太陽光和人造光光譜研究中的重要貢獻而榮獲Rumford獎章。
1875年，基爾霍夫回到了柏林大學任職理論物理教授。其時，他給出了惠更斯-菲涅耳（Huygens–Fresnel）原理的嚴格數學形式，並發表了4卷《數學物理學講義》。
1887年10月17日，基爾霍夫病逝於柏林，享年63歲。
圖7基爾霍夫（1824－1887）
索末菲
索末菲（Arnold J. W. Sommerfeld，1868年12月5日－1951年4月26日）1886年進入哥尼斯堡大學主修數學，1891年23歲時獲博士學位。他隨後出任格丁根大學助教。1897年，他轉到Clausthal礦業學校任教授，1900年再轉到Aachen技術學院任教授，1906年起到慕尼克大學任理論物理學教授直至退休。1951年4月26日在慕尼克意外被汽車撞倒不治離世，時年83歲。
索末菲的主要科學建樹在原子結構及原子光譜理論方面。他提出用橢圓軌道代替玻爾（Niels H. D. Bohr，1885－1962）原子模型的圓形軌道，從而建立了“玻爾－索末菲原子模型”。他還引入原子軌道空間量子化等概念，成功地解釋了氫原子光譜和重元素X射線譜的精細結構以及正常Zeeman效應。此外，他對陀螺運動、電磁波傳播以及金屬電子理論多有貢獻。
索末菲是一比特出色的導師，先後帶出了七個諾貝爾獎得主，包括德拜（Peter Debye，1884－1966）、泡利（Wolfgang Pauli，1900－1958）、海森堡（Werner K. Heisenberg，1901－1976）、貝特（Hans Bethe，1906－2005）等四比特博士學生和鮑林（Linus Pauling，1901－1994）、拉比（Isidor I. Rabi，1898－1988）、勞厄（Max von Laue，1879－1960）等三比特博士後，還有一批卓有建樹的博士生、博士後和合作者，以及幾個後來獲諾貝爾獎的學術梯隊成員。愛因斯坦曾感歎地對索末菲說：“我特別欽佩你的是，你能够從平凡中製造出那麼多的年輕天才。”
索末菲一生得過許多的獎勵和榮譽，是多個國家的科學院院士，並得到過世界上多所大學頒發的榮譽博士學位。
值得一提的是，索末菲明確堅定地反對納粹的反猶太運動和所謂的“德意志物理學”，因而被攻擊為“學術界中猶太文化的代理人”。但他毫無畏懼，從未退讓過。
圖8索末菲（1868－1951）
哥德巴赫
哥德巴赫（Christian Goldbach，1690年3月18日－1764年11月20日）於1710年從哥尼斯堡大學畢業後遊學歐洲至1724年，到過德國多個地方以及英格蘭、荷蘭、義大利和法國。特別是，他拜訪過萊布尼茲（Gottfried W. Leibniz，1646-1716）、歐拉和貝努裏（Nicholas I. Bernoulli，1687－1759）等大數學家。1724年他回到哥尼斯堡之後，又與數學家比爾芬格（Georg B. Bilfinger，1693－1750）和赫爾曼（Jakob Hermann，1678－1733）結為好友，多有合作。
1725年，哥德巴赫到了聖彼德堡科學院任職數學和科學史教授，1728年成為俄羅斯沙皇二世的宮庭教師，1742年後還曾任職俄羅斯外交部。
哥德巴赫在數學分析方面有出色的貢獻，例如有一條哥德巴赫－歐拉定理。但他主要貢獻在數論方面，例如關於費馬數（Fermat numbers）有一條哥德巴赫定理。當然，他最出名的是在1742年6月7日寫給歐拉信中提出的“哥德巴赫猜想”：任何一個大於2的偶數都可寫成兩個質數之和，俗稱為“1+1”問題。當今最好的結果是陳景潤1966年證明的“1+2”，但尚不是問題的終結。
圖9哥德巴赫給歐拉的信（1742年6月7日）
希爾伯特
希爾伯特（David Hilbert，1862年1月23日－1943年2月14日）被稱為“數學界的無冕之王”、“數學中的帥才”，是歷史上最卓越的數學家之一。
希爾伯特1880年進入哥尼斯堡大學，但他執意違背父親讓他學習法律的意願，選擇了數學，於1885年23歲時獲得博士學位，之後留校任講師、副教授，1893年昇為正教授。1895年，希爾伯特接受克萊因（Christian F. Klein，1849－1925）邀請到了格丁根（Göttingen）大學任教，直至1930年退休，於1943年逝世，享年81歲。
希爾伯特曾獲俄羅斯羅巴切夫斯基獎和瑞典科學院Mittag-Leffler獎，1942年當選為柏林科學院榮譽院士。
希爾伯特在不變數理論、代數數論、積分方程、變分法、泛函分析、數學和幾何學基礎、數學物理等領域中作出了十分重要的貢獻。其中最值得提及的是他1900年8月8日在巴黎第二届國際數學家大會上的著名演講。他指出了新世紀數學家應當努力解决的23個數學問題，其中第8個問題包含了哥德巴赫猜想。那次演講被認為是20世紀數學最重要問題的選集。對那些問題的研究，後來大大推動了數學的進步並對今天數學的發展依然有著深刻影響。1950年，當美國數學會邀請希爾伯特的博士學生、著名數學家外爾（Hermann K. H. Weyl，1885－1955）總結20世紀上半頁的數學歷史時，外爾寫道：希爾伯特在巴黎提出的23個數學問題“是一張導航圖”；在過去五十年間，“數學家們經常按照這張導航圖去衡量我們的進步”。
希爾伯特同時也十分關注物理學，曾把他認為“數學較差”的愛因斯坦請到格丁根大學，一起討論後來被稱為“愛因斯坦方程”的物理學含義。期間，數理邏輯學家哥德爾（Kurt F.Gödel，1906－1978）為愛因斯坦方程找到一個解，讓他滿載而歸。
希爾伯特去世後，在格丁根的墓上刻著他退休感言中的最後一句話：“我們必須知道，我們必將知道”（Wir müssen wissen，Wir werden wissen）。
圖10筆者在格丁根希爾伯特墓碑旁
閔可夫斯基
閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864年6月22日－1909年1月12日）為理工科的學者們所熟識，很可能是由於數學分析中的“閔可夫斯基不等式”。
閔可夫斯基1864年出生於俄國的Alexotas（今立陶宛的Kaunas）。由於當時俄國政府迫害猶太人，1872年父親帶著全家移居到了哥尼斯堡。他們家與希爾伯特的家僅一河之隔，兩人從小相識。
1879年閔可夫斯基入讀於柏林大學，不久轉回哥尼斯堡大學。大學期間，他授課於亥姆霍茲（Hermann L. F. von Helmholtz，1821-1894）、克羅內克（Leopold Kronecker，1823-1891）、維爾斯特拉斯（Karl T. W. Weierstrass，1815-1897）、基爾霍夫等物理學家和數學家。
1882年，年僅18歲的閔可夫斯基因為建立了多元二次型的完整理論與英國著名數學家史密斯（Henry J. S. Smith，1826－1883）共同分享了法國科學院的一個大獎，名噪一時。1885年，21歲的閔可夫斯基在哥尼斯堡大學獲得博士學位。1886年，他成為波恩大學講師，然後於1891年昇為副教授。1894年，他回到哥尼斯堡大學任教。1895年，希爾伯特離開哥尼斯堡前往格丁根大學，由閔可夫斯基接替他的位置擔任數學教授。次年，閔可夫斯基又轉到瑞士蘇黎世聯邦理工學院（ETH Zürich）任教。期間，青年愛因斯坦在該校就讀，成為閔可夫斯基的學生。1902年，閔可夫斯基接受克萊因的邀請，加盟格丁根大學擔任數學教授直至離世。
閔可夫斯基最具獨創性的成果是他在1890年開創的“數的幾何”（Geometrie der Zahlen），書稿在1896年基本完成，於1910年正式出版。他關於數的幾何理論的研究導致了對凸體填充問題的研究，即給定形狀的圖形可以放置到另一個給定形狀圖形中的個數和方法，其中引出了大家熟知的“閔可夫斯基不等式”。
1905年，閔可夫斯基建立了實係數正定二次型的“閔可夫斯基約化理論”。1908年，在Cologne的一次著名學術演講中，閔可夫斯基提出了四維時空的概念，為後來愛因斯坦的廣義相對論提供了基本框架，被稱為“閔可夫斯基時空”理論。
1909年1月11日，閔可夫斯基因急性闌尾炎搶救無效在格丁根逝世，時年僅45歲。希爾伯特隨即整理了他的遺作，於1911年出版了《閔可夫斯基全集》（Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski）。
圖11閔可夫斯基（1864－1909）
3.加里寧格勒
現在，讓我們回到哥尼斯堡。
然而，今天普魯士不復存在，哥尼斯堡也不復存在。
第二次世界大戰末，哥尼斯堡被轟炸得天翻地覆。1945年4月9日，蘇聯軍隊完全佔領了哥尼斯堡。同年8月2日，蘇、美、英三國在柏林聯合發表了《波茨坦公告》。根據公告的決議，戰敗的德國將東普魯士地區割讓給波蘭和蘇聯。其中，行政上哥尼斯堡成了蘇聯領地。但地理上，城堡與蘇聯本土不但互不鄰接，而且相去甚遠，中間隔著立陶宛和白俄羅斯，囙此被戲稱為“飛地”。1946年，蘇聯政府把哥尼斯堡改名為加里寧格勒（Kaliningrad），以紀念剛去世的最高蘇維埃主席團主席加裏寧（Mikhail I. Kalinin，1875－1946）。兩年之後，蘇聯政府又把哥尼斯堡大學改名為“加里寧格勒國立師範學院”，1967年再更名為“加里寧格勒國立大學”。
圖12加里寧格勒市區風景
哥尼斯堡也罷，加里寧格勒也罷，現在讓我們回到“哥尼斯堡七橋問題”。
早在1875年，由於民生的需要哥尼斯堡市政府在圖3中的B點和C點之間修建了一道橋。但是，這“八橋問題”依然沒有解，即不存在一條路徑讓你把8道橋不重複也不遺漏地走一遍，最後回到出發點。
1944年，哥尼斯堡的七條老橋在戰火中被全部炸毀。後來，加裏寧市政府修復了五道橋（圖3中的A-B和A-C之間分別只修復了一道橋），保存至今。現在這些老橋主要供旅遊觀光使用。
圖13加里寧格勒現在只有五條橋（2014年照片）
最後，如果你明白前面歐拉關於七橋問題無解的解釋的話，你就會知道這“加里寧格勒五橋問題”（圖14）也是沒有解的。
圖14加里寧格勒五橋問題
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