量子線路是實現可程式設計通用量子計算的一種可靠管道，類比於經典電腦中的邏輯線路。量子線路由一系列作用到量子比特上的量子門所組成，它們可以使初始直積量子態么正演化為具有很强糾纏的末態。每一次量子門的作用使用量子硬體進行操作只耗費很短的試驗時間，但其嚴格的經典類比則需要訪問量子態的每一個元素，具有很高的計算複雜度。量子線路的經典例子包括穀歌公司量子計算團隊於2019年發佈的“懸鈴木”（Sycamore）量子線路。懸鈴木線路包含排布在2維格點（如下圖左方）上的53個量子比特和20個迴圈的么正操作。穀歌當時推測其經典類比即使使用超級電腦也需要上萬年的時間，囙此認為此量子霸權試驗標誌著量子計算正式進入量子優越性的時代。
量子線路的經典類比方法一般分為全振幅類比和單振幅類比。全振幅類比是現時主流量子模擬器所採用的方法。它將整個量子態存儲於記憶體之中，嚴格計算每一個量子門的么正作用，可以處理任意深度的量子線路。然而它的缺點是需要耗費指數多的經典存儲資源。IBM曾提出可以使用全振幅方法類比穀歌的懸鈴木量子線路，但是需要使用Summit超級電腦的所有記憶體和所有硬碟來存儲量子態，囙此是不現實的。
單振幅類比方法不存儲整個態向量，只計算末態在計算基組（computational basis）上單個基矢的投影。從張量網絡的角度看，量子線路中的初態，量子門，以及量測都可以視為連接在一起的張量，也被稱為具有么正性質的張量網絡。以懸鈴木線路為例，其對應的張量網絡是一個三維張量網絡，如下圖右側。左側的邊界為初始的直積態|000…000>，而右側的邊界為計算基組的一個給定的基矢，也為直積態。因而單個振幅的計算可以轉換成這個三維張量網絡的縮並。單振幅類比的優勢是計算複雜度僅依賴張量網絡的一個圖内容---樹寬（tree-width）而不是比特數目，囙此不必付出比特數目指數次方的存儲複雜度。但其缺點也很明顯，即如果需要計算大量比特串的概率幅則需要重複縮並張量網絡很多次，需要大量計算時間。
近期中科院理論物理研究所張潘研究員與博士生潘峰提出了一種新的類比方法---大批振幅張量網絡方法（big-batch tensor network method），可以大幅降低計算大量相關比特串振幅的複雜度，使得一些之前認為難以進行的量子線路類比成為可能。相關論文於去年3月份發佈於arXiv:2103.03074並於近期發表於Physical Review Letters 128，030501（2022）並被遴選為PRL編輯推薦（Editor’s suggestion）。（詳見：https://arxiv.org/abs/2103.03074，https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.128.030501）
大批振幅張量網絡方法可以利用單次張量網絡縮並獲得大量相關比特串的嚴格振幅，具體方法是將量子線路末態分為開放量子比特和關閉量子比特。關閉量子比特對應一個直積態，而開放量子比特具有複雜的末態，對應大批振幅。這樣整個三維張量網絡的另一個邊界被設為對應關閉量子比特的多個向量與對應開放量子比特的一個大張量的直積。這個大張量代表了末態希爾伯特空間中所對應子空間中的全部資訊，因而縮並這個三維張量網絡即可以計算一個大批（例如兩百萬）的相關振幅。大批振幅方法可以被認為是介於全振幅類比與單振幅類比之間的量子線路類比方法。
作者提出了一個實現大批振幅張量網絡方法的具體算灋---大頭算灋。大頭算灋通過將量子線路對應的張量網絡分成含有較多張量的“大頭”和含有較少張量的“小尾”兩個部分，如下圖所示。整個張量網絡縮並的計算量大多集中在大頭部分，這樣就可以只縮並大頭張量網絡一次，緩存計算結果對應的“中間態”，並以很小的計算單價獲取尾部的末態大批振幅，即尾部張量網絡所包含末態量子比特所對應的子空間的全部資訊。
在論文中作者展示了大批振幅方法在量子線路類比中的兩個具體應用。
第一個應用是避免存儲整個態向量而進行全振幅類比。具體做法為是將末態向量分成很多個大批振幅的組合，並用大批振幅方法遍歷所有的批次。換句話說，末態的希爾伯特空間被劃分成了若干個子空間，然後順序地使用大批振幅方法嚴格類比每個子空間。這樣就同時解决了存儲整個態向量的問題，同時具有比全振幅計算小很多的時間複雜度。在論文中作者展示了此方法僅僅使用一個GPU即可進行43比特14迴圈的懸鈴木線路的全振幅類比。同樣的線路在穀歌的2019論文中也進行了傳統的全振幅類比，但使用了整個Jülich超算的算力。另外，作者利用新方法在100塊GPU上首次進行了50比特14迴圈懸鈴木量子線路的全振幅類比，打破了之前使用太湖之光超算所保持的49個量子比特這個全振幅類比量子比特數目的記錄。
第二個應用是通過對子空間比特串採樣獲取百萬樣本，通過穀歌的線性交叉熵基准保真度（XEB）測試。穀歌的量子霸權實驗中使用量子硬體獲取了一百萬懸鈴木量子線路的樣本，預期XEB為0.002。在此項工作中，作者利用60塊GPU的計算集羣耗時5天完成了兩百萬關聯比特串概率幅的嚴格計算，並從中採樣出一百萬樣本，其XEB為0.739，高於穀歌量子硬體。大批振幅張量網絡方法的一個特點是張量縮並計算可以分為多個計算單元進行高效並行化。去年10月份國家超算團隊（無錫）在新的神威超級電腦上開發了高效量子線路模擬器（arXiv:2110.14502，arXiv:2111.01066）並實現了本文中提出的大批振幅張量網絡方法，將懸鈴木量子線路的百萬相關比特串振幅的計算時間由5天縮短至了304秒，斬獲了2021年度高性能計算最高獎戈登貝爾獎併入選了2021年10大科技進展新聞。（詳見：https://awards.acm.org/bell，http://www.news.cn/politics/2022-01/19/c_1128276247.htm）
然而需要注意的是雖然大批振幅方法可以通過穀歌XEB測試並獲得比量子硬體更高的XEB，但此方法使用單次張量網絡縮並只類比了量子線路末態希爾伯特空間的一個子空間，獲得的末態樣本為關聯樣本。而穀歌懸鈴木硬體從全空間抽樣，獲得的樣本沒有相關性。囙此，大批振幅方法單次縮並得到的百萬樣本沒有解决懸鈴木採樣問題。如果要得到無關樣本則必須重複計算約2000次張量網絡縮並，使得計算代價無法承受。注意到這個相關性問題在最近一篇論文arXiv:2111.03011中被徹底解決，作者提出新的計算方法，使用單次張量網絡縮並即獲得了保真度高於穀歌的百萬無關聯樣本，徹底解決了懸鈴木量子線路的采樣問題（見此介紹：https://mp.weixin.qq.com/s/1zwd0znmBOogN6Lfk5pQCw）。
程式碼實現：
https://github.com/Fanerst/simulate_sycamore