作者:陳關榮
有人在π日到來,有人在π日離開。謹以此文,悼念在π日離世的霍金,並紀念在π日出生的愛因斯坦。
“山巔一寺一壺酒”
2010年9月17日,在北京中國科學院思源樓報告廳內舉行了華羅庚先生誕辰一百周年紀念大會。我從小就知道華羅庚的名字。但真正對他有所瞭解,還是從1962年剛上初中時閱讀了他當年為中學生寫的一本數學小册子《從祖沖之的圓周率談起》開始的。
華羅庚先生的生平與貢獻自然不必多說,在這裡只談談從他這本小册子裏學到的關於圓周率π的一點知識和後來逐漸知道得更多關於π的一些趣事。
傳說華羅庚曾經講過一個故事:從前有個教書先生,平日喜歡喝酒。一天,他把學生們關在教室裏,要他們背誦圓周率,自己卻提了一壺酒到山上的寺廟找老和尚對飲去了。
先生回來後,考問學生有沒有把圓周率背下來。有個學生就回應道:“山巔一寺一壺酒,爾樂苦煞吾,把酒吃,酒殺爾殺不死,樂爾樂”。
先生開始很生氣,以為學生是在諷刺他,但很快便意識到這其實是帶濃厚鄉音的普通話3.1415926535897932384626,頓時轉怒為喜,把這個學生著實稱讚了一番。
華羅庚(1910-1985)曾講過π的故事
3月14日——π日
眾所周知,圓周率是一個圓的周長與直徑之比,而且不論圓的大小,這個比值是常數,永遠不變。圓周率的近似值π≈3.14家喻戶曉,關於它的文章和書籍更是多不勝數。
由於希臘字母π和英文單詞“pie”同音,1988年3月14日由美國舊金山的科學探索館(San Francisco Exploratorium)提議,發起了每年這一天以吃“pie”來紀念和慶祝圓周率的校園活動。
2009年3月11日,美國眾議院還通過了一項決議,把3月14日正式確定為全國的“π日”(National Pi Day)。更有趣的是,麻省理工學院的招生辦公室每年都把新生錄取通知書留到“π日”才發送給新生。
現在網路通信方便了,還有傳聞說那裡的工作人員安裝了個電腦程式等到3月14日下午1時59分26秒才從網上把錄取通知向全世界發放出去,對應於π≈3.1415926。
說來奇巧,3月14日正好也是Einstein的生日。另外,因為22/7是比3.14對π更為精確的近似,每年7月22日也被公認為“π近似日”。
愛因斯坦(1879-1955),生於3月14日
π值計算史
圓周率π是一個不等於任何兩個整數之比的實數,它在整數3之後再帶上一個具有無限長度但又永遠不迴圈的小數:π≈3.1415926···。儘管人類對π的認知可以追溯到遠古,最先對π值進行系統嚴格的估算者應當首推古希臘科學家Archimedes(阿基米德,西元前287—前212年),他得出不等式3 + 10/71 <π< 3 + 1/7,平均值就是π≈3.14···。
在我國,三國後期魏國人劉徽(生於西元250年左右)留下了寶貴數學遺產《九章算術注》和《海島算經》,並創始和使用了“割圓術”即用圓的內接和外切正多邊形來逼近圓的周長。割圓術為後來南北朝時期的數學家祖沖之(西元429—500年)的估算3.1415926 <π< 3.1415927提供了最基本的方法。此外,祖沖之還以很簡單的分數形式給出了圓周率的約率π≈22/7和密率π≈355/113。
祖沖之(429-500)
古人計算圓周率,一般都是用正多邊形來逼近圓的。Archimedes用正96邊形逼近圓而得到π小數點後3比特的精度,劉徽用正3072邊形逼近圓也只能得到π小數點後5比特的精度。
由於這些計算方法效率極低,估算π的歷史行程十分緩慢。直到微積分問世以後,情况才大為改觀。1706年,英國天文學家John Machin發現了一個簡單的解析公式並用它來計算π達到了小數點後100比特的精確度:
π= 16 arctan(1/5)−4 arctan(1/239)。
微積分的出現,不但給出了許多關於π的解析估計,更大大地加快了其數值計算。且不說優雅漂亮的Gregory-Leibniz和差公式
1/1−1/3 + 1/5−1/7 + 1/9−···=π/4
以及Wallis乘積公式
2/1×2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9×···=π/2,
後來發現能够用來對π作快速近似計算的公式還有很多。
π的定義
精確度的百年競賽
1914年,自學成才的傳奇印度數學家Srinivasa Ramanujan(拉馬努金)就曾經寫下過14個關於π的無窮級數展開公式。電子電腦出現以後,人類大規模高精度的計算能力得到了無與倫比的飛躍,使得圓周率計算的行程突飛猛進,實現了計算π的(二進位)數位長度的一次又一次重大突破。
1985年,美國數學家Bill Gosper用Ramanujan的一個公式計算圓周率精確到了小數點後17500000比特。
1994年,蘇聯裔美國數學家David和Gregory Chudnovsky兄弟在同一個公式的基礎上計算π到了4044000000比特。
1995年以後,日本數學家金田康正(Yasumasa Kanada)及其團隊更在世界上遙遙領先,在2003年把對π的計算提高到了1.24萬億比特。
這個紀錄在2010年1月8日由法國一比特程式師Fabrice Bellard打破。他改進了Chudnovsky兄弟的公式,用了131天在一部臺式電腦上成功地把π計算到2.7萬億比特。這個數位有多長呢?如果你平均用一秒鐘來報出一個數位的話,那麼需要8.5萬年才能讀完它的所有數位。
厲害吧?可是,這個世界紀錄到8月份就被打破了:日本工程師近藤茂(Shigeru Kondo)與美國西北大學電腦系的香港學生餘智恒合作,把π值算到了5萬億比特。
誰知道,當歡呼聲猶在耳際,9月17日英國廣播公司BBC又作出了驚人的報導,說雅虎科技公司的研究員、原香港科技大學畢業生施子和(Nicholas Tse-Wo Sze)採用“云計算”科技,利用1000臺電腦同時計算,歷時23天,將π計算到小數點後2千萬億比特,為8個月前法國人Bellard記錄的近一千倍。
這可不是只新增了大約一千個數位,而是由一千個、每個都有2.7萬億比特長的數位連接起來。哇塞!施子和興奮無比地向全世界宣佈了他的計算結果,還說他發現了“π的小數點後第兩千兆比特是0!”
無窮的π
你能記住π小數點後多少比特?
你或許不以為然,說用電腦來計算不足為奇。那麼,用人腦來進行計算和記憶就不容易了吧?如果我告訴你,說有人能正確無誤地記住π的數值從3.14開始一直到小數點後幾萬比特數位,你會覺得匪夷所思吧?
其實,多少年來一直有著憑人腦記憶來背誦π的數值的金氏世界纪录(Guinness World Records),現時領先的是中國人呂超。2005年11月20日,當時是西北農林科技大學研究生的呂超用了24小時零4分的時間,連續背誦出π的值到小數點後67890比特。
讀到這裡,我知道你如果不是數學粉絲的話其實並不會特別激動:知道π≈3.14就已經足够了,誰去關心它長長尾巴上的無窮多位數位呢?
說來也是,造物主有這麼多東西可以創造,為什麼偏偏造出這個神奇的π來,讓許許多多的數學家和粉絲們兩千多年來嘔心瀝血地去追尋不休呢?不過,我最近開始漸感驚訝,覺得造物主並不是一些人所想像的那麼無聊。
柏林工業大學數學樓外的π鑲嵌藝術
無處不在的神奇數位
你可能早已聽說過,π與地球上的許多河流有關:河流彎曲河道的曲線長度與河道首尾直線距離之比通常都接近於3.14——河道越是蜿蜒曲折,這個近似值就越好——亞馬遜河便是一個例子。
最令我驚歎的是2010年11月《科學》雜誌上報導的德國格丁根大學馬克·普朗克動力學與自組織科學研究所和伯恩斯坦計算神經科學研究中心的科學家Matthias Kaschube及其團隊的一項研究成果。
研究人員發現,相同哺乳類中的三種遠親動物嬰猴(galago)、樹鼩(tree shrew)和蒙眼貂(ferret)的大腦中,它們的視覺皮層的螺旋結構平均分佈密度都是一樣的,而且都落在π值3.14的95%置信區間之中。真的?這不會是巧合吧?雖然這個3.14不能與用電腦得到的兩千萬億比特數位相提並論,但對於理論生物學家來說,3.14已經是一個令他們難以置信的超級精確度了。
科學家們相信,今天的生物大腦都是經過漫長時間通過自組織演化過程而逐漸形成的,並且都具有某種最優的結構和功能。
如果是這樣的話,那些哺乳類動物大腦視覺皮層中基本螺旋結構分佈都不約而同地呈現出以3.14為平均密度之特徵,是不是自然進化的最優結果呢?不會是造物主在創世開始時,不經意地在它們的大腦中寫下了那個神奇的數位π吧?
作者:陳關榮
陳關榮,香港城市大學機電工程系講座教授,IEEE Fellow,《國際分岔與混沌雜志》主編。
本文原文收錄在書籍《數學無處不在》中,集智俱樂部經作者授權發佈。