手把手教你寫好英文數學論文。
撰文|丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）
對於從事數學研究的大學教師，寫作並發表學術論文和教學一樣都是不可或缺的日常事務；對於數學各個分支領域的研究生，寫作也是學術訓練的一個重要方面。現時，大部分中國學者是用英文寫作數學文章的，導致中國早已成為全世界僅次於美國的SCI論文大國。但是許多人的英文寫作是有不少問題的。在這篇文章裏，我將就英文數學寫作談談我的看法，並對一些需要注意的地方舉例說明。
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首先我指出，英文寫作與中文寫作的基本原理是一樣的，即：要想說好某件事，一定要有某事說。這被美國已故的數學寫作與演講大家哈爾莫斯（Paul Halmos）列為“寫作第一原則”：In order to say something well you must have something to say.他心目中的“寫作第二原則”是：當你决定寫作時，問問自己預期讀者是誰（When you decide to write something，ask yourself who it is that you want to reach.）。每一個寫作者，包括數學家們，都要牢記這兩項基本原則。
對於母語和外語而言，提高寫作水準的有效方法也是一樣的。一個放之四海而皆准的妙法很簡單，就是“熟讀唐詩三百首”。大量閱讀是提高寫作能力的一大法寶。如果一個人母語的寫作能力欠缺，即便能背得出一萬個外語單詞，他用那種語言大概也寫不出拿出手的文章。所以那些想在數學英文寫作中找竅門走捷徑的人，在對那些“博覽群書”者寫下的優美文章前“臨淵羡魚”之後，不要忘了回到家裡“退而結網”。
數學寫作屬於科學寫作。我先來概括一下科學寫作的一般要素。科學寫作的目的是交流學術思想和科學發現，所以在動筆前作者首先要清楚，這篇文章是寫給誰看的。要充分收集與本次寫作有關的資料以及關鍵的文獻，要仔細斟酌所表達內容的先後次序和邏輯結構。在寫作過程中要精確、清晰、簡潔、客觀地表達想說的東西。初稿完成後，要反復推敲，不斷修改，這對初出茅廬的新手尤其重要。為了不斷提高寫作水准，要養成閱讀國外英文學術書刊的好習慣。此外，要熟記本學科以及相鄰學科和相關領域的基本術語和常用專業詞彙。最後我想強調的是，寫文章貴在創新，切忌表達千篇一律。“抄現成的東西”是我們應該終生“弃之如敝屣”的不良作風。
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現在我簡單談論文章的結構。一篇數學文章一般由以下幾個部分組成：題目、摘要、引言、主體、結論、參考文獻。有的文章還有附錄。我們對每一部分大致說明一下。
標題（title）是用最少的文字表達文章的主要內容，它應該簡潔、具體，並且要直接明了。一個佳例是我博士導師李天岩教授三十歲時與他的博士論文導師約克（James Yorke）教授於1975年12月在《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上發表的論文Period Three Implies Chaos。雖然文章的定理給出的是在比“週期三點存在”更加一般的假設下，逐次反覆運算一個連續函數的驚人結論，但“週期三點存在”這個特殊假設使得只有四個單詞的標題成為可能，而且該題目概括了文章的主要貢獻——此文在數學上首次引進“混沌”的數學術語。筆者參與寫作的關於一類新分形的一篇文章，標題就是直截了當的分形名字：Sierpiński Pedal Triangles，讀者看了馬上一目了然。另外一些科學名篇的簡潔標題包括“混沌之父”洛倫茲（Edward Lorenz）的“Deterministic Nonperiodic Flow”。
由於文章標題特別重要，它需要作者費點心思推敲確定。香港城市大學電子工程系的陳關榮教授在一次關於科技寫作的演講中，舉了自己與弟子合作的一篇短論文作為例子，談論怎樣修改標題。這篇後來被廣泛引用的文章，初稿完成後的標題是“A New Chaotic Attractor Connecting the Lorenz Attractor and the Chen Attractor”。在文章修改過程中，作者仔細斟酌了標題，發現它雖然表達清楚，但有不簡潔的缺點，例如單詞“attractor”出現了三次。最終，他們將它改成了既精煉又醒目的短標題A New Chaotic Attractor Coined。
文章標題最好不要太籠統，而要具體，少用那些範圍太廣的學術名詞，切忌寫成像個書名，如Numerical Analysis for Fluid Dynamics。在某些場合，疑問式的標題容易抓住讀者的眼球，如“分形之父”曼德博（Benoit Mandelbrot）的開創性論文How Long Is the Coast of Britain？總而言之，文章標題將給讀者留下關於該文的第一印象，如果它不是那麼引人入勝的話，潜在的讀者可能不會繼續瀏覽文章的摘要進而閱讀全文。
摘要（abstract）是關於文章主要結果的一段或幾段文字概括。它是讀者的領路人，基本要求是短而精，並能提供文章的關鍵資訊。為了讓更多的人讀之，應該寫得讓作者所在專業小領域的“母體”領域大同行也能不費力氣地看懂。科技上，它應該避免使用數學符號和公式，最好從頭到尾用敘述性文字，讓讀者覺得就像在林中散步時聽老朋友聊天一樣。摘要通常寫在文章初稿完成後，這時，不應該照抄文章引言或結論兩節中的有關句子。要重新構思，儘管表達與文章有關部分同樣的意思，也要使用不同的語詞表達，免得讀者有“似曾相識”之感。另外，可有可無的詞和句子儘量不用或少用，如“In this paper”。
如果必須在摘要裏提到某篇文章，不要像在正文裏那樣只列出它在文末“參考文獻”內的序號，而是詳細給出該文所在的雜誌名稱和發表資訊，如發表年份、雜誌卷數和期號。這是因為許多報告過的文章摘要也被放進某次會議的摘要集，而摘要的讀者讀不到文章後面的參考文獻。
純粹數學文章的摘要一般短於應用數學和計算數學，篇幅比較短的文章摘要甚至一句話就能全面概括文章貢獻，如Lasota和Yorke一篇1973年發表的現代遍歷理論經典論文的摘要是“A class of piecewise continuous，piecewise C1 transformations on the interval [0，1] is shown to have absolutely continuous invariant measures.”
好的摘要能吊起讀者的胃口，馬上就想讀文章的第一部分——引言，囙此將它寫好對迅速傳播自己的研究成果十分重要。
引言（introduction）可被看成是擴充版的摘要，它將給出文章的背景、有關的前人研究成果、本文需要解决的問題、求解的思路等。在敘述別人的工作時，既要客觀報導，也不應隨意貶低，鋒芒畢露；當介紹自己的成果時，要用新聞體式的平實語言，概括得體。整個引言要寫得一氣呵成，開始部分要用淺顯易懂的語言引導讀者慢慢登堂入室，信心滿滿地理解整篇文章要解决的問題和採用的思想及方法。要力求避免一開始就羅列一大堆數學符號，因為這容易導致讀者對後面的部分望而生畏而止步於此。引言只須提及與本文密切相關的背景和應用，不必大張旗鼓地談論應用前景的方方面面，免得離題太遠。要知道，研究型文章寫的是自己的研究結果，不是有關應用歷史或前景的綜述場所，所以次要甚至無需的資料不要寫得喧賓奪主。
引言的中間應該概括文章的主要貢獻、好的新結果，論證的方法，以及期待的效果。它的內容包括：提出問題，總結過去，分析困難，解决措施，給出目的等。
引言的最後部分一般是對文章的結構做出說明，給出文章主體部分各小節的基本內容。但是，這裡不應該將各節的小標題再寫上一筆，而是補充交代小節的目的所在。
文章的引言寫好後常需修改，而主要修改之處往往導致“瘦身”，因為敘述囉嗦以及多此一舉是寫作中常有的毛病，容易讓第一節變得“虛胖”。再版過一本數學寫作手册的一比特英國皇家學會會士說過：“改進引言的一個可行方法是删去第一句或前幾句，因其常為無關緊要的泛泛而談。”他舉了一個佳例：Polynomials are widely used as approximating functions in many areas of mathematics and they can be expressed in various bases.We consider here how to choose the basis to minimize the error of evaluation in floating point arithmetic.這兩句話中的第一句是人人知道的簡單事實，不必再提。囙此他將兩句縮成一句，並且是讓人思考的疑問句：In which basis should we express a polynomial to minimize the error of evaluation in floating point arithmetic？囙此，我們只要記住“可寫可不寫的句子就不要寫”的這個簡單法則，就能去掉引言中的那些“多餘的話”。
主體（main body）是文章的主要部分，它由引言和結論一前一後兩節之間的所有小節構成。這幾節的寫法百花齊放，各有各的特色。一般第一節引入所需的新老概念、術語定義以及預備知識或有用命題；對於計算數學和應用數學分支，它也含有需要數值求解的連續方程，包括微分或積分方程，或運算元方程。對純粹數學而言，下麵的各節就要敘述作者新發現的定理，通常做法是將定理的證明也一併帶上。對於複雜的定理證明，也可以另設一節，專事證明。也有少數篇幅較大的文章將證明放到文章主體的最後甚至更後的附錄中。對於應用數學和計算數學，這裡是數值方法設計和分析的場所，包括關於算灋收斂性的理論證明，加上計算試驗的數值清單畫圖。
如果定理的證明較長，幫助讀者理解關鍵想法的一個好方法是將一個或幾個思路的結果寫成引理，放在定理的前面。有的文章將所有定理所需的引理統統放在一起，甚至單列一節。但是較好的做法是將服務於哪個定理的引理放在那個定理的前面，便於讀者閱讀。
文章主體部分的撰寫沒有套路可循，但基本的原則就是清楚完整地展示作者解决問題的思路和方法，不同學科的寫作風格和表達方式可能稍有區別。初學者可以通過閱讀寫作經驗豐富的同行專家已被發表的論文，最好是英文為作者母語刊登在權威雜誌上的那些，來學會怎樣寫。剛開始從事寫作時可以小模仿，但絕不能整段整句地抄別人的敘述。
主體部分包含許多數學公式，有的因為後面用到而需要標號。記住一個原則：儘量少用標號。後面不需要的公式就不要標號。如果某個公式僅在下一行或幾行處提到，也不必標號，可以用像“the above equality”類似的片語指出該公式而不會引起誤解。
結論（conclusions）通常是文章的最後一節，它的功能就是關於文章內容的“總結性發言”，闡述本文的主要貢獻，使得讀者在讀完文章主體後有個全面的回顧。這時作者可以展望未來，就相關的研究提出設想。理想的結論節除了不重複引言中的句子外，還要具備讓讀者有餘音繞梁之感或意猶未盡之慨，會引發他們對未决問題的思考，甚而心中湧起躍躍欲試的衝動。與引言不一樣的是，當在結論節總結文章的主要工作時，常常用過去式時態來敘述，例如The main contribution of the paper is that we proved an existence theorem for the class of piecewise convex transformations of the unit interval.
一些人寫到結論節的標題時只寫單數，不加表示複數的“s”，這是不太規範的。按照約定俗成的做法，這一節的標題是“Conclusions”，如果不用其他片語如“Concluding Remarks”的話。
參考文獻（references）中堆放的是與文章內容有關並且被正文引用的那些論文和書籍。它看上去可以不費吹灰之力地完成，但實際上是最容易出錯的地方。最大的錯誤可能是格式不統一，即不同參考文獻的寫法各异。原因可能是作者不分青紅皂白地將別人文章中的對應條目全盤照搬，而忘了不同雜誌對參考文獻的寫法格式或有細微差別。其他錯誤包括作者的姓和名次序不一致、雜誌名稱的全名和縮寫前後混用、屬於同一範疇的片語字體不一樣、上下不按照第一作者英文姓的首字母次序排列等。參考文獻應盡可能地放上原始論文，除非資訊缺乏而迫不得已改列間接出處，如一本書。當然教科書中的經典結果無需列出最早的出處，只要給出含有它們的著作即可。還有一個需要注意的事項是：文章中被引用的全部論文或圖書必須與參考文獻中的所有條目一一對應。作者應該記住，與文章沒有關係的文獻一條也不應該列。極端的例子屬於柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），他有約15篇論文沒有參考文獻，因為它們都是真正開創性的工作。另一方面，對文章研究成果出過力的任何文獻，作者都應該列出，缺一不可。
文章的第一頁除了標題外，還包含了作者姓名等資訊。關於多位作者的署名，數學文章國際通用的約定俗成是按照英文姓氏首字母排序。記得我在美國讀博士時所寫的第一篇數學文章，初稿將合作者、導師李天岩教授的名字放在第一，反映出尊師的傳統習慣。他修改文章時，將兩人的署名順序顛倒過來，並告訴我“按字母順序署名”是數學界的不成文規矩，與作者貢獻無關。從此我和他的所有合作論文都是這樣按照規矩辦事的。我的師爺約克教授的英文姓是Yorke，所以他的合作文章幾乎篇篇他的署名在後，但這不影響他的學術貢獻和地位。如果數學文章的署名違反了規矩，那可能是那個排在後面的作者貢獻微小，儘管如按此人姓氏首字母應該排在前面。當然對於反序的例外情形，也有別的種種不便明說的原因。
許多文章的最後有致謝部分，感謝對文章有貢獻但未署名的人和/或研究基金。有的文章在投稿過程中，某個認真負責的審稿人對改進文章的數學或語言有不可忽視的幫助，這時作者最好表示感謝這位匿名者。致謝部分應該寫得簡潔，比如I would like to thank可以縮短為I thank。
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下麵我略談一下文章寫作的基本資料——單詞和片語。雖然科技寫作不像文學創作那樣追求想像力和抒情，但有一點是共同的，就是避免重複用詞。這就要求作者擁有比較大的詞彙量，在表達相同或相似的意思時可以選取不同的單詞來表達。我和湯濤教授合著的工具書《數學之英文寫作》中，有一章列出了數學不同學科的基本詞彙表，以及表達相同或相反意思的英文單詞和片語。為了提高英文寫作的能力和用詞的靈活性，就要經常從本專業歐美作品中吸取營養。比如說，養成習慣定期瀏覽美國數學會網站www.ams.org中會員通俗雜誌Notices of the American Mathematical Society上的綜述文章甚至新聞簡報。我於1986年去美國讀博士的那幾年，作為系裏提名的美國數學會學生會員，每期收到這個內容豐富的雜誌後，我都要瀏覽一番，好的文章細讀，而不是像有的人那樣將它摔在一邊，不聞不問。讀這類雜誌的好處多多，不僅可以瞭解其他領域的一些行情，而且從那些優美的寫作中學會怎樣寫數學文章，還可以更進一步從那些數學家（如陳省身教授）的訪談中，瞭解他們成長的心路歷程和有趣故事。我自己的英文寫作能力除了我以前打下的中文寫作基礎，就主要得益於對英文雜誌這樣的大量閱讀。
國內學者英文寫作中的一個普遍問題是關於冠詞以及可數名詞單數或複數的用法上。一般來說，當第一次寫到某個可數名詞時，比方說在定義一個術語的時候，我們可將此名詞或片語寫成前面有不定冠詞的單數形式，如Let V be a vector space或For an orthonormal basis，或寫成複數形式，如Generalizations of the above lemma appear in various articles。但是當所述名詞帶有限定語的時候，常常需要寫成前置定冠詞的單數形式，如Let B（H）be the algebra of all bounded linear operators on a complex Hilbert space H.一個學科的名稱，如algebra（代數），屬於不可數名詞，所以我們這樣寫：from Banach’s Lemma in functional analysis，而不寫in the functional analysis。然而有了一個具體對象後，就要用定冠詞了，如The first part of the book is on the functional analysis of Frobenius-Perron operators and the second one is devoted to the numerical analysis of the operator.當一個名詞第一次以複數形式出現時，一般不用定冠詞，除非名詞前有限定性定語，如teaching for sciences及teaching for the computational sciences。當一個對象存在但不是唯一時，通常用不定冠詞或複數，而當這個對象很快再被提及時，就可以用定冠詞了，此時the有著“這個（this）”或“那個（that）的意思。茲舉一例：
Suppose a smooth function has a critical point.If the second derivative of the function at the critical point is positive，then it is a relative minimum of the function.
抽象名詞因為不可數，當然不能用不定冠詞，如果非用不可，就需要某種“量詞”放在它的後頭。例如，我們不能寫This is a wonderful news，而是要寫成This is wonderful news或者This is a piece of wonderful news.
還有幾個與定冠詞有關的寫法：（i）當指一樣東西時，例如某個公式，可以有兩種途徑。一種是用the，另一種就省去它。囙此from the inequality（5）和from inequality（5）都是正確的寫法。但如果不列出公式標號，光寫from inequality就不對，因為這裡讀者不知道指的是哪個公式，這時可根據上下文寫成如from the above inequality。（ii）當寫以某人名字命名的命題時，可以用所有格形式或在人名前加上the，例如by Li-Yorke’s theorem或by the Li-Yorke theorem，但不能寫by the Li-Yorke’s theorem。（iii）一些形容詞當名詞使用時，一般加the，如From the above和the more，the better。單詞next常用the，如the next theorem，但也有不加the的時候，如We come back to this topic next time.
英文數學文章常用以Let或Suppose等特殊動詞開頭的祈使句，尤其在命題敘述的開頭部分。這時它的結尾應為句號，即點號，所以Suppose the inequality is satisfied，then the conclusion is valid.應該改為Suppose the inequality is satisfied.Then the conclusion is valid.祈使句也可以換成分句的形式，如Denote the matrix by M. We find that可以寫成Denoting the matrix by M，we find that。前者是兩個句子，而後者是帶有現在分詞結構的一個句子。
連詞and的用法也值得注意。幾個並列的事物或句子之間用逗號隔開，並在最後一個對象前加上and，這個and之前一般加上最後一個逗號或不加，如If the first function is continuous，the second function is differentiable，and the last function is monotonic或同樣正確的If the first function is continuous，the second function is differentiable and the last function is monotonic。自然連接兩個對象時，逗號就不需要了，如See the paper by Zhang and Zhu，而不是See the paper by Zhang，and Zhu。
一些作者，可能由於沒有時間養成習慣閱讀好文章，或沒有注意到英文中那些拉丁語“小詞”的正確寫法，容易在詞語寫作上出錯，尤其是那種不易感知的“小錯”。無論“大錯”還是“小錯”，在嚴謹的寫作者眼裡都是錯誤。比如說，我在國內學者的文章中見過正確的拉丁文“et al.”（意指“等等人”）的每一種錯誤的寫法：et al，et. al.，et. al。囙此只有下麵的寫法是對的：The book by Carson et al. is regarded as the authoritative text on the topic。列出多於一人時，可以這樣寫：The article by Jones，Perez，et al. is well-known，but the one by Jones，Lee，et al. has been more widely cited。注意etc.指的是“等等事物”，不可與et al.混用。
後面帶有點號的拉丁語詞或英語縮寫，當它出現在句子的最後時，一般省去表示句子結束的點號以免重複，如We refer the reader to the work of Li et al.對於“i.e.”（即）和“e.g.”（例如），它們的前後通常加上逗號，如The claim is thus proved，i.e.，the function is the difference of two increasing ones和See，e.g.，the monograph [4] for more details.
在數學文章裏，應該避免將數學符號寫在句子的開頭，並且在兩個數學運算式之間放上至少一個英文詞。例如，句子h is an increasing function可以改寫為The function h is increasing，句子From formula（1），x = 1，g（s）< 0 for some s可以寫成From formula（1）we have x = 1 and g（s）< 0 for some s或We have x = 1 from formula（1）.The inequality g（s）< 0 is valid for some s。
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在簡單介紹文章各個部分寫作基本要素及其他注意事項後，我想通過舉例的形式來對症下藥地修改一些寫得有缺點的英文。下麵的例子有的來自雜誌編輯請我稽核的投稿，有的來自學術界同行或朋友們撰寫的文章初稿。
1. The total methods of accomplishing the task is這裡主語methods是複數，而謂語is卻是單數，並且total與methods搭配不當。改為The total number of the methods of accomplishing the task is。
2. The product of consecutive m positive integers is divisible by m！.這裡雖然沒有語法問題，但將表示數量的字母m寫在形容詞consecutive的後面是不規範的，所以改為The product of m consecutive integers is divisible by m！.
3. For each positive integer k，clearly know that there are（n-k）3 sequences containing exactly k zeros.這句的毛病是缺乏主語。與漢語可以省去主語不同，英語的主語一般不能少，除非是祈使句。所以該句改為For each positive integer k，we clearly know that there are（n-k）3 sequences containing exactly k zeros.
4. n boys and n girls sit in a circle，so that no two boys are next to each other，so do the girls.首先句子以數目字母n開始，其次兩個so既重複又意思不一樣，最後少了一個and。改寫為Suppose n boys and n girls sit in a circle such that no two boys are next to each other and so do the girls.
5. For any subset A of X that has odd elements這裡作者的意思是A的元素個數是個奇數，但表達不好。改為For any subset A of X that has an odd number of elements。
6. Summing over i = 0，1，…，n，there are n3 selections.這裡Summing的主語應該是人，所以改成Summing over i = 0，1，…，n，we see that there are n3 selections.
7. Combining the results of the above two kinds of counting，the identity is proved.現在分詞Combing的主語是人，所以後面的被動語態應為主動語態。改為Combining the results of the above two kinds of counting，we have proved the identity.
8. If a > 0，suppose b > a2，then（a，b）is a solution.在“if…then”帶有條件狀語的句型中再插入“suppose”子句，反而使整個句子複雜化了。可以改為If a > 0 and b > a2，then（a，b）is a solution.也可以寫成Let a > 0.Suppose b > a2.Then（a，b）is a solution.或Let a > 0 and b > a2.Then（a，b）is a solution.
9. Let k = r–x，it can be seen that k satisfies（1）.這裡祈使句後面的逗號應為句號，而且可以少寫幾個詞。改為簡潔的Let k = r–x. Then k satisfies（1）.
10. For another two solutions，see Example 3.單詞another後面只能是單數名詞，單詞other後面單數複數都可以用，如the other person或other people。改為For other two solutions，see Example 3.
11. There exist x，x’in X，x > x’.數學運算式之間最好有英文單詞將它們隔開。改為There exist x and x’in X with x > x’.或There exist x and x’in X such that x > x’.
12. There is a recurrence relation of the first order linear nonhomogeneous with constant coefficients.這裡nonhomogeneous是形容詞，應該放在名詞片語recurrence relation之前，所以改成There is a first order linear nonhomogeneous recurrence relation with constant coefficients.
13. Let g（n，k）denote the number of k ordered subsets satisfying the empty intersection property of the n-element set S.在本句裏，這些k個subsets是集合S的子集，所以要將第二個of及後面的部分移到satisfying前面，這樣方便讀者理解。修改為Let g（n，k）denote the number of k ordered subsets of the n-element set S satisfying the empty intersection property.
14. We construct an n-digit number such that all of the digits 1，2 and 3 in the n-digit number appear at least once.在一個句子中，謂語應該儘量靠近主語，所以appear最好放到狀語in the n-digit number前面。可以改成We construct an n-digit number such that all of the digits 1，2 and 3 appear at least once in the n-digit number.如果避免重複寫n-digit number，可用代詞it代替第二個n-digit number而不必後移，所以本句也可以寫成We construct an n-digit number such that all of the digits 1，2 and 3 in it appear at least once.
15. Let S be a finite set，|S| = n，and k be a positive integer.這裡兩個逗號使得閱讀起來不太流暢，僅用一個介詞with就可以去掉它們。改為Let S be a finite set with |S| = n and k be a positive integer.
16. If |x–y| = d holds，then we say x，y have property P.句子中的等號可以構成條件從句中主語|x–y|的謂語，所以去掉作為主語|x–y| = d的謂語holds後，從句更簡潔。此外x和y之間的逗號可以用and代替。正式寫作中，賓語從句前要加上that。可改為If |x–y| = d，then we say that x and y have property P.
17. Directly using the formula in Theorem 1，note c is nonzero，so the inequality is true.這裡現在分詞結構和祈使句合用而沒用連詞，不合語法規則。改為Directly using the formula in Theorem 1 and noting that c is nonzero，we see that the inequality is true.或Directly use the formula in Theorem 1 and note that c is nonzero.So the inequality is true.
18. Let k be a positive integer，k < n.逗號不能用於祈使句，除非後面跟著多於一個的並列句子。改為Let k be a positive integer and k < n.或Let k be a positive integer such that k < n.
19. Easily know that the sum in the above equals 10.這是正確的中文對應表達“易知上述和等於10”錯誤影響英文表達的結果。記住，除了祈使句，英文句子必須有主語。改成Easily we know that the sum in the above equals 10.或We easily know that the sum in the above equals 10.
20. There are at leastαm 1 in each of the first r columns.這裡數位1是計數的對象，所以數量αm後面要跟numbers of.改寫為There are at leastαm numbers of 1 in each of the first r columns.
21. It can be seen that this number is≤6.除非在完整的不等式中，這裡的不等式符號≤最好改成英文片語。重寫為It can be seen that this number is less than or equal to 6.
22. From the known conditions，we can see that such numbers contain 11.三個詞的we can see不如兩個詞的we see簡潔，而且意思基本不變。修改成From the known conditions，we see that such numbers contain 11.
23. n lines are placed in the plane，where there are no two lines are parallel.句子應以單詞開頭，第一次提到平面時應用不定冠詞，從句中出現了兩個謂語。改正後的句子是There are n lines that are placed in a plane，where no two lines are parallel.
24. Then t obviously exactly divides the left side of（2）.兩個副詞擠在一起，僅僅第二個修飾動詞divides，可以把第一個動詞移到t之前。改寫成Then obviously t exactly divides the left side of（2）.
25. Then any common divisor of a and b is the divisor of their greatest common divisor.因為一個整數的因數不一定是唯一的，所以不應該用定冠詞，而應該用不定冠詞。改為Then any common divisor of a and b is a divisor of their greatest common divisor.
26. If both sides of（3）are integrated over the interval，obtain the desired equality，which is the direct deduction of（2）.條件句一般具有固定格式“if…，then…”，謂語前要有主語，deduction用在這裡意思不吻合，改為可數名詞consequence。句子改為If both sides of（3）are integrated over the interval，then we obtain the desired equality，which is a direct consequence of（2）.
27. From（a，b）= 1，we can know that there exist integers m and n such that am + bn = 1.不用多餘的詞是寫作的一個基本原則。這裡we can know可以删去。改為From（a，b）= 1，there exist integers m and n such that am + bn = 1.
28. Let（a1，…，an）be（finite）nonzero integers.這n個整數不必用括弧括起，並且單詞finite多餘，因為已知給出的是有限個數。改為Let a1，…，an be nonzero integers.
29. In addition，if take a = 5，then there is b = 25.條件從句無主語，另外there is多餘。改成In addition，if we take a = 5，then b = 25.其他正確的寫法包括In addition，taking a = 5，we obtain b = 25.及In addition，if taking a = 5，then b = 25.
30. Note that 0 < k < n，n|k-1（n-1）！is not always true.這裡兩個數學運算式緊緊相連不太好看，可以這樣分開：Note that n|k-1（n-1）！is not always true for 0 < k < n.或者用英文將運算式隔開，寫成Note that 0 < k < n，and so n|k-1（n-1）！is not always true.
31. Therefore，when m > n，f（m）< f（n）.與上同理，改成Therefore，f（m）< f（n）when m > n.或寫成Therefore，if m > n，then f（m）< f（n）.
32. Let Fk = 2k + 1，k > 0.For m > n，（Fm，Fn）= 1.同理改為Let Fk = 2k + 1 with k > 0.For m > n，we have（Fm，Fn）= 1.或Let Fk、= 2k + 1 for k > 0.If m > n，then（Fm，Fn）= 1.或Let Fk = 2k + 1 with k > 0.We see that（Fm，Fn）= 1for m > n.
33. Then from the above equation，we get d|n.可以去掉無特別意思的we get。改為Then d|n from the above equation.
34. Prime number is the most component subset of natural number set.這裡第一次提到素數，根據上下文，應用複數。片語most component意思不清，可以删去。此外所有自然數的集合是一個確定的對象，應用定冠詞。改為Prime numbers constitute a subset of the natural number set.
35. There are only a limited number of nonzero terms in the sum.這裡指的是有限個非零數，應用finite或finitely many。改為There is only a finite number of nonzero terms in the sum.或There are only finitely many nonzero terms in the sum.
36. Let a and m be integers greater than 1，am–1 is prime，then a = 2 and m is prime.某些東西具有某樣性質，此性質可用such that開頭，這樣也將1和am–1自然隔開。另外，祈使句後面的逗號應為句號。改成Let a and m be integers greater than 1 such that am–1 is prime.Then a = 2 and m is prime.
37. Therefore，from inductive hypothesis that f（m，n）is an integer for all n，then derive f（m+1，n）is an integer for all n.片語inductive hypothesis是特指的，囙此要用定冠詞。本句不僅缺乏主語，而且賓語從句沒有that。修改成Therefore，from the inductive hypothesis that f（m，n）is an integer for all n，we derive that f（m+1，n）is an integer for all n.
38. Hence，a > 8c+1，and multiply by the above expression，we can get（3）.動詞multiply應用現在分詞形式。單詞can可以删去。改為Hence，a > 8c+1，and multiplying by the above expression，we get（3）.
39. That is，（6）is now obtained，and thus derive（5）.第二分句缺乏主語，可像第一分句那樣也用被動式，以示一致。第二個逗號也可省去。改為That is，（6）is obtained and（5）is thus derived.或寫成主動語態：That is，we obtain（6）and thus derive（5）.
40. For example，0，1，…m-1 is a complete system modulo m.這裡，被列出的m個整數作為主語是複數，如果用括弧括起來，可視為一個整體而作為單數。囙此改為For example，0，1，…m-1 form a complete system modulo m.或For example，{0，1，…m-1} is a complete system modulo m.
41. Let（a，m）= 1，then aφ（m）≡1（mod m）.改為Let（a，m）= 1.Then aφ（m）≡1（mod m）.或If（a，m）= 1，then aφ（m）≡1（mod m）.
42. When d runs over all positive divisors of m，m/d runs over all positive divisors of m.改為When d runs over all positive divisors of m，the quotient m/d runs over all positive divisors of m.
43. We prove that there always exists a < b，then the conclusion is proved.句子可以縮短，改為We prove that a < b is always true，and then the conclusion is proved.
44. In the elementary mathematics，there are three basic methods to deal indeterminate equation.去掉定冠詞，動詞deal加介詞with是固定用法，可數名詞equation第一次提，要用複數或在它的前面加上不定冠詞an。改為In elementary mathematics，there are three basic methods to deal with indeterminate equations.或In elementary mathematics，there are three basic methods to deal with an indeterminate equation.
45. Then 2a + 2b + 1，-2a + 2b–1 are all integers.只有兩個物體時，不用all，而用both。此外兩個數學運算式之間用and。改正為Then 2a + 2b + 1 and -2a + 2b–1 are both integers.
46. If the integers y > x，then y≥x + 1.對於這兩個整數x和y，給出的是它們之間的大小關係，而不是它們自己。可以改為If integers x和y satisfy y > x，then y≥x + 1.
47. Let a，b，c，d are all positive integers，ab = cd.在祈使句中，只能用動詞的原型。此外不要逗號，用單詞或片語。改為Let a，b，c，and d be all positive integers such that ab = cd.或Let a，b，c and d be all positive integers satisfying ab = cd.
48. Thus，in C[x]，f（x）is divisible by（x-a）（x-b）.應該分開兩個數學運算式。可以寫成：Thus，f（x）is divisible by（x-a）（x-b）in C[x].
49. The polynomials with rational coefficients f（x），g（x）have nonnegative values.把f（x）和g（x）移到polynomials後面會表達更清楚。The polynomials f（x）and g（x）with rational coefficients have nonnegative values.
50. It follows f（c）> g（c），contradiction.當用it follows時，後面要加that，另外可數名詞contradiction前要加a。改為It follows that f（c）> g（c），a contradiction.也可以寫成It follows that f（c）> g（c），which is a contradiction.
關於數學英文寫作的注意之處，如上我給出了一些具體意見。通過閱讀佳作，動手練習，寫作能力會不斷提高，交流數學、投稿雜誌也會感到越來越自信。總之，數學研究與文章寫作是相輔相成的，它們隨著當事人的努力，攜手共進、相得益彰。
寫於美國哈蒂斯堡居所夏日山莊
本文經授權摘自《數學科學與技術研究論文寫作：案例與方法》（上海大學出版社，2022年1月）。